Алгебраическая Функция

Алгебраическая Функция в Энциклопедическом словаре:
Алгебраическая Функция - функция, связанная с независимым переменнымалгебраическим уравнением.

Определение «Алгебраическая Функция» по БСЭ:
Алгебраическая функция - функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению. А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов
[например, 5xІ−√^Ї3xy+√^Ї2yІ, (1+x+xІ) ⁄ (2+xі)]
называются рациональными, а прочие А. ф. - иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов

[например,

√

1+xІ

,

(x−y) ⁄

і√

x+√y

]

Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция y = ƒ(х), удовлетворяющая уравнению: y⁵ + 3yx⁴ + x⁵ = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций, встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная x^α (если α - иррациональное число), показательная а^х, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией. Самая общая А. ф. многих переменных u = ƒ(x, y, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида:
P_о(x, y, z, ...)uⁿ + P₁(x, y, z, ...)u^n-1 + ... +P_n(x, y, z, ...) = 0, (1)
где P₀, P₁, ..., P_n - какие-либо многочлены относительно x, y, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно x, y, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P₀ можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P₁/P₀), частным случаем которой - целой рациональной функцией - является многочлен (если P₀ = const ≠ 0).
При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.
При n ≥ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных x, y, z,...
Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. - Л., 1948.

Алгебраическая Кривая (Поверхность)    Алгебраическая Функция    Алгебраически