Алгебраическое Число

Алгебраическое Число в Энциклопедическом словаре:
Алгебраическое Число - число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению сцелыми коэффициентами.

Определение «Алгебраическое Число» по БСЭ:
Алгебраическое число - число а, удовлетворяющее алгебраическому уравнению a₁αⁿ+ ... + a_nα +a_n+1 = 0, где n ≥ 1, a₁, ..., a_n, a_n+1 - целые (рациональные) числа. Число α называется целым А. ч., если a₁ = 1. Если многочлен ƒ(x) = a₁xⁿ + ... + a_nx + a_n+1 не является произведением двух других многочленов положительной степени с рациональными коэффициентом, то число n называется степенью А. ч. α.
Простейшие А. ч. - корни двучленного уравнения xⁿ = a, где a - рациональное число. Например, А. ч. будут рациональные числа, числа
√^Ї2, √^Ї5−√^Ї3; целыми А. ч. будут целые числа, числа √^Ї2, (√^Ї5−1)⁄2.
С понятием А. ч. тесно связаны два больших направления в теории чисел. 1) Арифметика А. ч. (алгебраическая теория чисел), созданная Э. Куммером в середине 19 в., изучает свойства А. ч. Целые А. ч. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам целых рациональных чисел, однако теорема об единственности разложения числа на простые множители не имеет места в теории целых А. ч. Для сохранения единственности разложения Куммер ввёл в рассмотрение т. н.
«идеальные» числа (см. Идеал). 2) Теория приближения А. ч. изучает степень приближения А. ч. рациональными числами или алгебраическими же числами. Первым результатом в этом направлении была теорема Ж. Лиувилля, показывающая, что А. ч.
«плохо» приближаются рациональными числами, точнее: если α - А. ч. степени n, то при любых целых рациональных р и q имеет место неравенство [α - p/q] > C/qⁿ, где С = С(α) > 0 - постоянная, не зависящая от р и q, отсюда следует, что легко построить произвольное количество неалгебраических - трансцендентных чисел.
Лит.: Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. - Л., 1940; Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; Боревич З. И., Шафаревич И. P., Теория чисел, М., 1964.
А. А. Карацуба.

Алгебраическое Уравнение    Алгебраическое Число    Алгетский Заповедник