Фредгольма уравнение
Определение «Фредгольма уравнение» по БСЭ:
Фредгольма уравнение - интегральные уравнения вида:
ƒ(x) =
| b ∫ a | K(x,s) φ(s) ds ,
|
| (1)
|
a ≤ x, s ≤ b, (Ф. у. 1-го рода) и
ƒ(x) = φ(x) − λ
| b ∫ a | K(x,s) φ(s) ds ,
|
| (2)
|
a ≤ x, s ≤ b, (Ф. у. 2-го рода),
где K (x, s) - заданная непрерывная
функция от x и s, называемая ядром уравнения, ƒ(x) - заданная функция, φ(x) - искомая функция, λ -
параметр (см.
Интегральные уравнения).
Уравнения (1) и (2) были изучены в 1900-1903 Э. Фредгольмом.
Теория Ф. у. 2-го рода
проще и они чаще используются в приложениях.
Построение устойчивых решений Ф. у. 1-го рода в общем случае
возможно лишь с помощью специальных регуляризирующих алгоритмов
решения некорректно поставленных задач. Если λ не является собственным значением уравнения (2), то это уравнение имеет
единственное непрерывное решение, определяемое формулой:
φ(x) = ƒ(x) + λ
| b ∫ a | R(x,s,λ) ƒ(s) ds ,
|
| (3)
|
где R (x, s; λ) = D (x, s, λ)/D (λ) называется резольвентой уравнения (2). Здесь
D(x,s,λ) =
| ∞ ∑ n=0
| dn(x,s) λn ,
|
d
0(x,s) = K(x,s),
dm(x,s) = K(x,s)dm +
| b ∫ a
| K(x,t) dm−1(t,s) dt,
|
dm+1 = | 1
m+1
| b ∫ a
| dm(s,s) ds, d0 = 1.
|
Лит.: см.
при ст. Интегральные уравнения.
Фревиль
Фредгольма уравнение
Фредегонда