Гаусса формулы

Определение «Гаусса формулы» по БСЭ:
Гаусса формулы - формулы, относящиеся к различным разделам математики и носящие имя К. Гаусса.
1) Квадратурные Г. ф. - формулы вида

b ∫ a

ƒ(x)p(x)dx =

n ∑ k=1

Akƒ(xk) + Rn,

в которых узлы x_k и коэффициенты A_k не зависят от функции ƒ(x) и выбраны так, что формула точна (т. е. R_n = 0) для произвольного многочлена степени 2n - 1. В отличие от квадратурных формул Ньютона - Котеса, узлы в квадратурных Г. ф., вообще говоря, не являются равноотстоящими.
Если p(x) ≥ 0 и

b ∫ a

p(x)dx > 0,

то для любого натурального n имеется единственная квадратурная Г. ф. Эти формулы имеют большое практическое значение, т.к. в ряде случаев они дают значительно большую точность, чем квадратурные формулы с тем же числом равноотстоящих узлов. Сам Гаусс исследовал (1816) случай
p(x) ≡ 1.
2) Г. ф., выражающая полную кривизну К поверхности через коэффициенты её линейного элемента; в координатах, для которых dsІ = λ(duІ + dvІ), Г. ф. имеет вид

K = −

1 2λ

{

∂І lnλ ∂uІ

+

∂І lnλ ∂vІ

}

.

Эта формула была опубликована в 1827 и показывает, что полная кривизна не меняется при изгибании поверхности. Она составляет содержание одного из основных предложений созданной Гауссом внутренней геометрии поверхности.
3) Г. ф. для сумм Гаусса:

n−1 ∑ s=0

e2πisІ⁄n

=

(1+i)(1+i−n) 2

n .

Эта формула была использована Гауссом (1801) в одном из доказательств закона взаимности квадратичных вычетов

(

p q

)

(

q p

)

= (−1)

p−1⁄2 q−1⁄2

,

где p и q - нечётные простые числа, а

(

p q

)

- Лежандра символ. Она явилась первым примером применения метода тригонометрических сумм в теории чисел. Этот метод был развит далее в работах Г. Вейля и особенно И. М. Виноградова и представляет собой один из наиболее мощных методов аналитической теории чисел.
4) Г. ф. для суммы гипергеометрического ряда. Если Re(c−b−a) > 0, то

1+

ab 1·c

+

a(a+1)b(b+1) 1·2c(c+1)

+ ... =

Γ(c)Γ(c−a−b) Γ(c−a)Γ(c−a)

,

где Γ(x) - гамма-функция. Опубликована в 1812.
С. Б. Стечкин.

Гаусса - Крюгера проекция    Гаусса формулы    Гауссова кривизна