Гильбертово Пространство
Гильбертово Пространство в Энциклопедическом словаре:
Гильбертово Пространство - математическое понятие, обобщающее понятиеевклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и20 вв. в работах Д. Гильберта; находит широкое приложение в различныхразделах математики и теоретической физики.
Определение «Гильбертово Пространство» по БСЭ:
Гильбертово пространство - математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие
«Г. п.» находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятий математики.
Первоначально Г. п. понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т. н. пространство l2). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности
x = (x1, x2,..., xn,...)
такие, что ряд xІ1 + xІ2 +... + хІn +... сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор λx, где λ - действительное число, определяют естественным образом:
x + y = (x1 + y1,..., xn + yn,...),
λx = (λx1, λx2, ..., λxn,...).
Для любых векторов х, y ∈ l2 формула
(x, y) = x1y1 + x2y2 +... + xnyn +...
определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число
|| x || =
| √ | (x, y)
| = √
| x1І + x2І + ... + xnІ + ...
| .
|
Скалярное произведение
всегда конечно и удовлетворяет
неравенству |(x, y)| ≤ ||x|| ||y||.
Последовательность векторов х
n называется сходящейся к вектору x, если ||х
n-х|| → 0 при n →
∞.
Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Г. п.
Например, формула
cos φ =
| (x, y)
||x|| ||y||
| ,
|
где 0 ≤ φ ≤ π определяет угол φ
между векторами x и y. Два вектора x и y называются ортогональными, если (x,y) = 0. Пространство l
2 полно:
всякая фундаментальная
последовательность Коши элементов этого пространства (т. е. последовательность x
n, удовлетворяющая условию ||x
n−x
m||→ 0 при n, m → ∞) имеет
предел. В
отличие от евклидовых пространств, Г. п. l
2 бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы
линейно независимых векторов;
например, такую систему образуют
единичные векторы
e
1 = (1, 0, 0,...), e
2 = (0, 1, 0,...), ...
При этом для любого вектора x из l
2 имеет
место разложение
x = x
1e
1 + x
2e
2 + ... (1)
по системе {e
n}.
Другим важным примером Г. п. служит пространство l
2 всех измеримых функций, заданных на некотором отрезке [a, b], для которых конечен интеграл
понимаемый как интеграл в смысле Лебега. При этом
функции, отличающиеся друг от друга лишь на множество меры нуль, считаются тождественными.
Сложение функций и
умножение их на число определяется обычным способом, а под скалярным произведением понимается интеграл
Норма в этом случае равна
Роль единичных векторов предыдущего примера
здесь могут
играть любые функции φ
i(x) из L
2, обладающие свойствами ортогональности
b ∫ a
| φi(x)φj(x) dx = 0, i≠j
|
и нормированности
b ∫ a
| φiІ(x) dx = 0, (i = 1, 2, ...),
|
а
также следующим свойством замкнутости: если ƒ(x) принадлежит L
2 и
b ∫ a
| ƒ(x) φi(x) dx = 0, (i = 1, 2, ...),
|
то ƒ(x) = 0
всюду, кроме множества меры нуль. На отрезке [0,2π] в качестве
такой системы функций
можно взять тригонометрическую систему
φ1 =
| 1
√(2π)
| , |
| φ2 =
| cos x
√π
| ,
|
φ3 =
| sin x
√π
| , |
| φ4 =
| cos 2x
√π
| , ...
|
Разложению (1) соответствует
разложение функции ƒ(x) из L
2 в ряд Фурье
ƒ(x) =
| a0
√(2π)
| + | 1
√π
| ∞ ∑ k=1
| (akcos kx + bksin kx) | ,
|
сходящийся к ƒ(x) по норме пространства L
2. При этом для всякой функции ƒ(x) выполняется равенство Парсеваля
2π ∫ 0
| ƒІ(x) dx = a0І +
| ∑ k=1
| akІ + bkІ | .
|
Соответствие между функциями ƒ(x) из L
2 и последовательностями их коэффициентов Фурье a
0, a
1, b
1, a
2, b
2,... является
взаимно однозначным отображением L
2 на l
2, сохраняющим
операции сложения, умножения на
числа, а также сохраняющим длины и
скалярные произведения. Т. о., эти пространства изоморфны и изометричны,
значит имеют
одинаковое строение.
В более широком смысле под Г. п. понимают
произвольное Линейное пространство, в котором задано скалярное произведение и которое является
полным относительно
нормы, порождаемой этим скалярным произведением. В
зависимости от того,
определено ли для элементов Г. п. Н умножение
только на
действительные числа или же
элементы из Н можно
умножать на произвольные комплексные числа, различают действительное и
комплексное Г. п. В последнем случае под скалярным произведением понимают комплексную функцию (x,y), определённую для
любой пары х,y элементов из Н и обладающую следующими свойствами:
1) (x, x) = 0 в том и только том случае, если x = 0,
2) (x, x) ≥ 0 для любого x из H,
3) (x + y, z) = (x, z) + (y, z),
4) (λx, y) = λ(x, y) для любого комплексного числа λ,
где
черта означает комплексно сопряжённую
величину. Норма элемента x определяется равенством
Комплексные Г. п. играют в математике и в её приложениях
значительно большую роль, чем действительные Г. п.
Одним из важнейших
направлений теории Г. п. является
изучение линейных операторов в Г. п. (см. Операторов
теория). Именно с этим
кругом вопросов связаны
многочисленные применения Г. п. в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, квантовой
механике и т. д.
Лит.:
Колмогоров А. Н.,
Фомин С. В.,
Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968;
Люстерник Л. А.,
Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Данфорд Н.,
Шварц Дж., Линейные
операторы, т. 1 - Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Дэй М. М.,
Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961.
Ю. В.
Прохоров.
Гильберт
Гильбертово Пространство
Гильбрет (Gilbreth) Франк Банкер (1868-1924)