Гильбертово Пространство

Гильбертово Пространство в Энциклопедическом словаре:
Гильбертово Пространство - математическое понятие, обобщающее понятиеевклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и20 вв. в работах Д. Гильберта; находит широкое приложение в различныхразделах математики и теоретической физики.

Определение «Гильбертово Пространство» по БСЭ:
Гильбертово пространство - математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие
«Г. п.» находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятий математики.
Первоначально Г. п. понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т. н. пространство l2). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности
x = (x1, x2,..., xn,...)
такие, что ряд xІ1 + xІ2 +... + хІn +... сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор λx, где λ - действительное число, определяют естественным образом:
x + y = (x1 + y1,..., xn + yn,...),

λx = (λx1, λx2, ..., λxn,...).
Для любых векторов х, y ∈ l2 формула
(x, y) = x1y1 + x2y2 +... + xnyn +...
определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число

|| x || =

(x, y)
= √

x1І + x2І + ... + xnІ + ...
.

Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству |(x, y)| ≤ ||x|| ||y||. Последовательность векторов хn называется сходящейся к вектору x, если ||хn-х|| → 0 при n →
∞. Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Г. п. Например, формула

cos φ =
(x, y)

||x|| ||y||
,

где 0 ≤ φ ≤ π определяет угол φ между векторами x и y. Два вектора x и y называются ортогональными, если (x,y) = 0. Пространство l2 полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого пространства (т. е. последовательность xn, удовлетворяющая условию ||xn−xm||→ 0 при n, m → ∞) имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Г. п. l2 бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему образуют единичные векторы
e1 = (1, 0, 0,...), e2 = (0, 1, 0,...), ...
При этом для любого вектора x из l2 имеет место разложение
x = x1e1 + x2e2 + ...      (1)
по системе {en}.
Другим важным примером Г. п. служит пространство l2 всех измеримых функций, заданных на некотором отрезке [a, b], для которых конечен интеграл


b

a
ƒІ(x) dx,

понимаемый как интеграл в смысле Лебега. При этом функции, отличающиеся друг от друга лишь на множество меры нуль, считаются тождественными. Сложение функций и умножение их на число определяется обычным способом, а под скалярным произведением понимается интеграл

(ƒ, g) =
b

a
ƒ(x) g(x) dx.

Норма в этом случае равна

||ƒ|| =



b

a
ƒІ(x)dx
.

Роль единичных векторов предыдущего примера здесь могут играть любые функции φi(x) из L2, обладающие свойствами ортогональности


b

a
φi(x)φj(x) dx = 0, i≠j

и нормированности


b

a
φiІ(x) dx = 0, (i = 1, 2, ...),

а также следующим свойством замкнутости: если ƒ(x) принадлежит L2 и


b

a
ƒ(x) φi(x) dx = 0, (i = 1, 2, ...),

то ƒ(x) = 0 всюду, кроме множества меры нуль. На отрезке [0,2π] в качестве такой системы функций можно взять тригонометрическую систему



φ1 =
1

√(2π)
,
φ2 =
cos x

√π
,
φ3 =
sin x

√π
,
φ4 =
cos 2x

√π
, ...

Разложению (1) соответствует разложение функции ƒ(x) из L2 в ряд Фурье


ƒ(x) =
a0

√(2π)
+1

√π


k=1
(akcos kx + bksin kx),

сходящийся к ƒ(x) по норме пространства L2. При этом для всякой функции ƒ(x) выполняется равенство Парсеваля




0
ƒІ(x) dx = a0І +
 

k=1
akІ + bkІ.

Соответствие между функциями ƒ(x) из L2 и последовательностями их коэффициентов Фурье a0, a1, b1, a2, b2,... является взаимно однозначным отображением L2 на l2, сохраняющим операции сложения, умножения на числа, а также сохраняющим длины и скалярные произведения. Т. о., эти пространства изоморфны и изометричны, значит имеют одинаковое строение.
В более широком смысле под Г. п. понимают произвольное Линейное пространство, в котором задано скалярное произведение и которое является полным относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением. В зависимости от того, определено ли для элементов Г. п. Н умножение только на действительные числа или же элементы из Н можно умножать на произвольные комплексные числа, различают действительное и комплексное Г. п. В последнем случае под скалярным произведением понимают комплексную функцию (x,y), определённую для любой пары х,y элементов из Н и обладающую следующими свойствами:
1) (x, x) = 0 в том и только том случае, если x = 0,

2) (x, x) ≥ 0 для любого x из H,

3) (x + y, z) = (x, z) + (y, z),

4) (λx, y) = λ(x, y) для любого комплексного числа λ,
5) (x, y) =

(x, y)
,

где черта означает комплексно сопряжённую величину. Норма элемента x определяется равенством

||x|| = √

(x, x)
.

Комплексные Г. п. играют в математике и в её приложениях значительно большую роль, чем действительные Г. п. Одним из важнейших направлений теории Г. п. является изучение линейных операторов в Г. п. (см. Операторов теория). Именно с этим кругом вопросов связаны многочисленные применения Г. п. в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, квантовой механике и т. д.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, т. 1 - Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961.
Ю. В. Прохоров.

Гильберт    Гильбертово Пространство    Гильбрет (Gilbreth) Франк Банкер (1868-1924)