Галуа Теория
Галуа Теория в Энциклопедическом словаре:
Галуа Теория - созданная Э. Галуа теория алгебраических уравнений высшихстепеней с одним неизвестным; устанавливает условия сводимости решениятаких уравнений к решению цепи других, более простых алгебраическихуравнений (обычно низших степеней).
Определение «Галуа Теория» по БСЭ:
Галуа теория - созданная Э. Галуа теория алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным, т. е. уравнений вида
xn + a1xn−1
+ a2xn−2 ... + an−1x
+ an = 0; (*)
устанавливает условия сводимости решения таких уравнений к решению цепи др. алгебраических уравнений (обычно более низких степеней). Т. к. решением двучленного уравнения xm = A является радикал m√A, то уравнение (*) решается в радикалах, если его можно свести к цепи двучленных уравнений. Все уравнения 2-й, 3-й и 4-й степеней решаются в радикалах.
Уравнение 2-й степени xІ + px + q = 0 было решено в глубокой древности по общеизвестной формуле
|
|
x = −p ⁄ 2 ± √ | pІ ⁄ 4 − q
| .
|
Уравнения 3-й и 4-й степеней были решены в 16 в. Для ур-ния 3-й степени вида xі + px + q = 0 (к которому можно
привести всякое ур-ние 3-й степени)
решение даётся т. н. формулой Кардано:
[↔]
| і | |
| | і | |
|
| | |
| | | |
|
x = | √ | − q ⁄ 2 + √ | qІ ⁄ 4 + pі ⁄ 27
| + | √ | − q ⁄ 2 − √ | qІ ⁄ 4 + pі ⁄ 27
| ,
|
опубликованной Дж.
Кардано в 1545, хотя
вопрос о том, найдена ли она им самим или же заимствована у др. математиков,
нельзя считать вполне решенным.
Метод решения в радикалах уравнений 4-й степени был указан Л. Феррари.
В
течение трёх последующих
столетий математики пытались
найти аналогичные
формулы для уравнений 5-й и высших степеней.
Наиболее упорно над этим работали Э. Безу и Ж.
Лагранж. Последний рассматривал особые линейные комбинации корней (т. н. резольвенты
Лагранжа), а
также изучал вопрос о том,
каким уравнениям удовлетворяют рациональные
функции от корней уравнения (*). В 1801 К.
Гаусс создал полную теорию решения в радикалах двучленного уравнения вида x
n = 1, в которой свёл решение
такого уравнения к решению цепи двучленных же уравнений низших степеней и дал условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы уравнение x
n = 1 решалось в квадратных радикалах. С точки зрения геометрии, последняя
задача заключалась в
отыскании правильных n-угольников, которые можно
построить при помощи циркуля и линейки;
поэтому уравнение x
n = 1 и называется уравнением
деления круга.
Наконец, в 1824 Н.
Абель показал, что
общее уравнение 5-й степени (и тем более
общие уравнения высших степеней) не решается в радикалах. С
другой стороны, Абель дал решение в радикалах одного общего класса уравнений, содержащего уравнения произвольно высоких степеней, т. н. абелевых уравнений.
Т. о.,
когда Галуа начал свои
исследования, в теории алгебраических уравнений было сделано уже
много, но общей теории, охватывающей все возможные уравнения вида (*), ещё не было создано.
Например, оставалось: 1)
установить необходимые и достаточные условия, которым
должно удовлетворять уравнение (*) для того, чтобы оно решалось в радикалах; 2)
узнать вообще, к цепи каких более простых уравнений, хотя бы и не двучленных,
может быть сведено решение заданного уравнения (*) и, в
частности, 3)
выяснить, каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение (*) сводилось к цепи квадратных уравнений (т. е. чтобы корни уравнения можно было построить геометрически с помощью циркуля и линейки). Все эти вопросы Галуа решил в своём
«Мемуаре об условиях
разрешимости уравнений в радикалах», найденном в его бумагах
после смерти и
впервые опубликованном Ж. Лиувиллем в 1846. Для решения этих вопросов Галуа исследовал глубокие
связи между свойствами уравнений и групп подстановок, введя ряд фундаментальных понятий теории групп. Своё
условие разрешимости уравнения (*) в радикалах Галуа формулировал в терминах теории групп. Г. т. после Галуа развивалась и обобщалась во многих направлениях. В современном
понимании Г. т. - теория, изучающая те или иные
математические объекты на основе их групп автоморфизмов (так,
например, возможны Г. т.
полей, Г. т. колец, Г. т. топологических пространств и т. п.).
Лит.: Галуа Э.,
Сочинения, пер. с
франц., М. - Л., 1936;
Чеботарев Н. Г.,
Основы теории Галуа, т. 1-2, М. - Л.,1934-37:
Постников М. М.,
Теория Галуа, М., 1963.
Галуа
Галуа Теория
Галузо