Интегральное Исчисление

Интегральное Исчисление в Энциклопедическом словаре:
Интегральное Исчисление - раздел математики, в котором изучаются свойстваи способы вычисления интегралов и их приложения к решению различныхматематических, физических и других задач. В систематической формеинтегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г.Лейбницем. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальнымисчислением; интегрирование (нахождение интеграла) есть действие, обратноедифференцированию: по данной непрерывной функции f(x) ищется функция F(x)(первообразная), для которой f(x) является производной. Вместе с F(x)первообразной функцией для f(x) является и F(x) + C, где С - любаяпостоянная. Общее выражение F(x) + C первообразных непрерывной функцииf(x) называется неопределенным интегралом; он обозначается.Определенныминтегралом непрерывной функции f(x) на отрезке ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ -уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.

Определение «Интегральное Исчисление» по БСЭ:
Интегральное исчисление - раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.
Определённый интеграл. Пусть требуется вычислить площадь S «криволинейной трапеции» - фигуры ABCD (см. рис.), ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение которой y = ƒ(x), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и BC. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок [a, b]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками а = x₀ < x₁ <... < x_n−1 < < x_n = b, обозначая длины этих участков
Δx₁, Δx₂, ..., Δx_n; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами ƒ(ξ₁), ƒ(ξ₂), ..., ƒ(ξ_n) где
ξ_k - некоторая точка из отрезка [x_k−1, x_k] (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; ƒ(ξ_k) - его высота). Сумма S_n площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади S криволинейной трапеции:
S ≈ S_n = ƒ(ξ₁) Δx₁ + ƒ (ξ₂) Δx₂ + ƒ(ξ_n) Δx_n
или, применяя для сокращения записи символ суммы Σ (греческая буква «сигма»):

S ≈ S_n = _n
∑
^k=1 ƒ(ξ_k)Δx_k.

Указанное выражение для площади криволинейной трапеции тем точнее, чем меньше длины Δx_k участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S надо найти предел сумм S_n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин Δx_k стремится к нулю.
Отвлекаясь от геометрического содержания рассмотренной задачи, приходят к понятию определённого интеграла от функции ƒ(x), непрерывной на отрезке [а, b], как к пределу интегральных сумм S_n при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается
ƒ(x) dx.
Символ ∫ (удлинённое S - первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, ƒ(x) - подинтегральной функцией, числа а и b называются нижним и верхним пределами определённого интеграла. Если a = b, то, по определению, полагают

a
∫
a ƒ(x) dx = 0,

кроме того,

b
∫
a ƒ(x) dx = − a
∫
b ƒ(x) dx.

Свойства определённого интеграла:
ƒ₁(x) dx ± ƒ₂(x) dx =
ƒ₁(x) dx ± ƒ₂(x) dx
kƒ(x) dx =
kƒ(x) dx
(k - постоянная). Очевидно также, что
ƒ(x) dx =
ƒ(t) dt
(численное значение определённого интеграла не зависит от выбора обозначения переменной интегрирования).
К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении площадей, ограниченных кривыми (задачи «нахождения квадратур»), длин дуг кривых («спрямление кривых»), площадей поверхностей тел, объёмов тел («нахождение кубатур»),
а также задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой, и многие другие задачи естествознания и техники. Например, длина дуги плоской кривой, заданной уравнением y = ƒ(x) на отрезке [a, b], выражается интегралом

1+[ƒ′(x)]² dx,

объём тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox, - интегралом

π [ƒ(x)]² dx,

поверхность этого тела - интегралом

2π ƒ(x)

1+[ƒ′(x)]² dx.

Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определённый интеграл можно найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход к пределу затруднителен. Некоторые определённые интегралы удаётся вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя различные Квадратурные формулы (например, трапеций формулу, Симпсона формулу). Такое приближённое вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют графические методы (см. Графические вычисления).
Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на некоторые классы неограниченных функций. Такие обобщения называются несобственными интегралами.
Выражения вида
φ(α) = ƒ(x, α),
где функция ƒ(x, α) непрерывна по x, называются интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (см., например, Гамма-функция).
Неопределённый интеграл. Нахождение неопределённых интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции ищется её производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная (или примитивная) функция - такая функция, производная которой равна данной функции. Таким образом, функция F (x) является первообразной для данной функции ƒ(x), если F(x) = ƒ(x) или, что то же самое, dF(x) = ƒ(x) dx. Данная функция ƒ(x) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для ƒ(x) содержатся в выражении F (x) + C, которое называют неопределённым интегралом от функции ƒ(x) и записывают
∫ƒ(x) dx = F(x) + C.
Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования

_x
∫
^a ƒ(u) du

(«интеграл с переменным верхним пределом»), есть одна из первообразных подинтегральной функции. Это позволяет установить основную формулу И. и. (формулу Ньютона - Лейбница):

_x
∫
^a ƒ(u) du = F(x) − F(a),

выражающую численное значение определённого интеграла в виде разности значений какой-либо первообразной подинтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами
d∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx; ∫dF(x) = F(x)+C.
Отсюда следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где C, m, a, k - постоянные и m ≠ −1, a > 0).
Таблица основных интегралов и правил интегрирования

x^mdx = x^m+1

m+1 +C;

dx

x = ln|x| +C;
a^xdx = a^x

ln a +C и
e^xdx = e^x +C;
sin x dx = −cos x +C;
cos x dx = sin x +C;
dx

sinІx = −ctg x +C;
dx

cosІx = tg x +C;
dx

1+xІ = arctg x +C;
dx

√(1−xІ) = arcsin x +C;

[ƒ₁(x)dx ± ƒ₂(x)]dx = ƒ₁(x)dx ± ƒ₂(x)dx ;
kƒ(x)dx = kƒ(x)dx ;
udv = uv − vdu ;
если x = φ(t), то dx = φ′(t)dt и
ƒ(x)dx = [ƒ(φ(t)]φ′(t)dt.
Трудность И. и. по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, «в конечном виде». И. и. располагает лишь отдельными приёмами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из которых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках математического анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).
К классу функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций

R(x) = P(x)

Q(x) ,

где P(x) и Q(x) - многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, например функции, рационально зависящие от √(axІ+bx+c) и x,
или же от x и рациональных степеней дроби

ax+b

cx+d .

В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, например рациональные функции синуса и косинуса. Функции, которые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., например, Интегральный логарифм, Интегральный синус и интегральный косинус, Интегральная показательная функция).
Понятие интеграла распространяется на функции многих действительных переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл), а также на функции комплексного переменного (см. Аналитические функции) и вектор-функции (см. Векторное исчисление).
О расширении и обобщении понятия интеграла см. ст. Интеграл.
Историческая справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи И. и. в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл Исчерпывания метод, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма И. и. Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9-15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в И. и. они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный
«неделимых» метод был возрожден И. Кеплером. В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем. Методом «неделимых»
был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n-й степени, а затем - работы Х. Гюйгенса по спрямлению кривых.
В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин
«интегральное исчисление» и обозначение интеграла ∫ydx.
При этом в работах Ньютона основную роль играло понятие неопределённого интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление), тогда как Лейбниц исходил из понятия определённого интеграла. Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И. Бернулли и особенно Л. Эйлера. В начале 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в 19 в. приняли участие русские математики М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев. В конце 19 - начале 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению основных понятий И. и. (Б. Риман, А. Лебег и др.).
Лит.: История. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строек Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen
ьber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.
Работы основоположников и классиков И. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.-Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с. латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Эйлер Л., Интегральное исчисление, пер. с латин., тт. 1-3, М., 1956-58; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.
Учебники и учебные пособия по И. и. Хинчин Д. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Ильин В., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Двайт Г.-Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, пер. с англ., М., 1964.
Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.
Рис. к ст. Интегральное исчисление.

Интегральная Схема Интегральное Исчисление Интегральный