Исчерпывания Метод

Исчерпывания Метод в Энциклопедическом словаре:
Исчерпывания Метод - метод доказательства, применявшийся математикамидревности при нахождении площадей и объемов.

Определение «Исчерпывания Метод» по БСЭ:
Исчерпывания метод - метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в.
Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины A строится некоторая последовательность величин C₁, C₂, ..., C_n, ... так, что
C_n < A; (1)
предполагают также известным такое В, что
C_n < В (2)
и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства
К (A - C_n) < D, К (В - C_n) < D, (3)
где D - постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству
A = B (4)
достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует

lim n→∞

(A−Cn) = 0,

lim n→∞

(B−Cn) = 0,

A =

lim n→∞

Cn

= B.

Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств A < В, В < A. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса - Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R = B - А существует такое К, что KR > D и в силу условия (1) получали
К (В - C_n) > К (В - A) > D,
что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).
Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием - Архимед. Например, для определения площади сегмента A параболы Архимед строит площади C₁, C₂, ...,
«исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом

C2 = C1 +	1 4	C1,
..........

Cn = C1 +

1 4

C1 + ... +

1 4n−1

C1

Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,

			(1 +	1 4	+	1 16	+ ...	)		4 3
A =	lim	Cn =							C1 =		C1.
	n→∞

Архимед геометрически доказывает, что при любом n

A−Cn <

1 4n−1

C1.

Вводя площадь

B =

4 3

C1,

Архимед получает, что

B−Cn =

1 3·4n−1

C1,

и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что

A = B =

4 3

C1.

Рис. к ст. Исчерпывания метод.

Исчерпывание    Исчерпывания Метод    Исчерпывать