Эйлеровы интегралы

Определение «Эйлеровы интегралы» по БСЭ:
Эйлеровы интегралы - интегралы вида

Β(a, b)  =
1

0
xa−1(1−x)b−1 dx
   (1)

(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730-31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом) и

Γ(a)  =


0
xa−1e−x dx
   (2)

[Э. и. второго рода, или Гамма-функция, рассмотренная Л. Эйлером в 1729-30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э. и.» дано А. Лежандром. Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты
Cmn и факториал n!, ибо, если а и b - натуральные числа, то


Β(a, b) =
1

bCa+b−1a−1
,     Γ(а+1) = а!
.

Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если а и b положительны, и перестают существовать, если а и b отрицательны. Имеют место соотношения

Β(a, b) = Β(b, a),   
Β(a, b) =
Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b)
;

последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов а и b. Э. и. встречаются во многих вопросах теории специальных функций, к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется также интеграл

1

0
ub−1(1−u)c−b−1
(1−ux)−adu =
Γ(b) Γ(c−b)

Γ(c)
F(a,b,c,x) ,

выражающий т. н. гипергеометрическую функцию.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.- Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.

Эйлерова характеристика    Эйлеровы интегралы    Эймер