Эйлеровы интегралы
Определение «Эйлеровы интегралы» по БСЭ:
Эйлеровы интегралы - интегралы вида
Β(a, b) =
| 1 ∫ 0
| xa−1(1−x)b−1 dx
| (1)
|
(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730-31,
ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом) и
[Э. и. второго рода, или
Гамма-функция, рассмотренная Л. Эйлером в 1729-30 в форме,
эквивалентной формуле (2); сама
формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э. и.» дано А. Лежандром. Э. и. позволяют
обобщить на
случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные
коэффициенты C
mn и
факториал n!, ибо, если а и b - натуральные
числа, то
Β(a, b) =
| 1
bCa+b−1a−1
| , Γ(а+1) = а!
| .
|
Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если а и b положительны, и перестают
существовать, если а и b отрицательны. Имеют
место соотношения
Β(a, b) = Β(b, a),
| Β(a, b) =
| Γ(a)Γ(b)
Γ(a+b)
| ;
|
последнее сводит бета-функцию к
гамма-функции. Существует ряд
соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и.
можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов а и b. Э. и. встречаются во многих вопросах теории специальных функций, к ним сводятся
многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется
также интеграл
1 ∫ 0
| ub−1(1−u)c−b−1 (1−ux)−adu =
| Γ(b) Γ(c−b)
Γ(c)
| F(a,b,c,x) ,
|
выражающий т. н. гипергеометрическую функцию.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969;
Артин Е.,
Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.- Л., 1934;
Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.
Эйлерова характеристика
Эйлеровы интегралы
Эймер