Экстремум

Экстремум в Энциклопедическом словаре:
Экстремум - (от лат. extremum - крайнее) - см. Максимум и минимум.

Определение слова «Экстремум» по БСЭ:
Экстремум (от лат. extremum - крайнее)
значение непрерывной функции ƒ(x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х0 функция ƒ(x) имеет в x0 максимум (минимум), если существует окрестность (x0 + δ, x0 - δ) этой точки, содержащаяся в области определения ƒ(x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство ƒ(x0), ≥ ƒ(x) [соответственно, ƒ(x0) ≤ ƒ(x)].
Если при этом существует такая окрестность, что в ней ƒ(x0) > ƒ(x) [или ƒ(x0) << ƒ(x)] при x ≠ x0, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае - о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В - нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция ƒ(x) имела Э. в некоторой точке x0, необходимо, чтобы она была непрерывна в x0 и чтобы либо f(x0) = 0 (точка А на рис. 1), либо f(x0) не существовала (точка С на рис. 1).
Если при этом в некоторой окрестности точки x0 производная f(x) слева от x0 положительна, а справа отрицательна, то ƒ(x) имеет в x0 максимум; если f(x) слева от x0 отрицательна, а справа положительна, то - минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f(x) не меняет знака при переходе через точку x0, то функция ƒ(x) не имеет Э. в точке x0 (точки D, Е и F на рис. 1). Если ƒ(x) в точке x0 имеет n последовательных производных, причём f(x0) = f(x0) =...= f (n-1) (x0)=0, a ƒ (n)(x0) ≠0, то при n нечётном ƒ(x) не имеет Э. в точке x0, а при n чётном имеет минимум, если ƒ (n) (x0) > 0, и максимум, если ƒ (n) (x0) < 0.
Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции.
Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х0, y0) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции ƒ(x, y) и в самой точке fx = fy = 0,
Δ = f xx f yy > 0,
то ƒ(x, y) в точке М имеет Э. (максимум при ƒxx < 0 и минимум при ƒxx > 0); Э. в точке М не существует, если Δ < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4).
Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы
Σi, k=1n aikΔxiΔxk
где aik - значение fxixk в исследуемой точке. См. также Условный экстремум.
Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении.
Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.
Рис. 1. к ст. Экстремум.

Рис. 2. к ст. Экстремум.

Рис. 3. к ст. Экстремум.

Рис. 4. к ст. Экстремум.

Экстремистский    Экстремум    Экстренно