Комбинаторный анализ

Значение слова Комбинаторный анализ по словарю Брокгауза и Ефрона:
Комбинаторный анализ — математическая теория, занимающаяся определением числа различных способов распределения данных предметов в известном порядке; имеет особенно важное значение в теории уравнений и в теории вероятностей. Простейшие задачи этого рода заключаются в определении числа: размещений, сочетаний и перестановок. Размещениями m предметов по n называются группы, которые можно составить из m предметов таким образом, чтобы каждая группа заключала в себе n предметов и все такие группы отличались бы одна от другой — или предметами в них входящими, или порядком распределения предметов. Число всех возможных размещений, какие можно составить из m предметов по n обозначается символом Anm и доказывается, что Апт = m(m—1)(m—2)(m—3)...(m-n+1). Сочетаниями из m предметов по n называются группы, которые можно составить из m предметов таким образом, чтобы каждая группа заключала в себе n предметов и все такие группы отличались бы одна от другой предметами в них входящими. Число сочетаний из m по n обозначается символом Cnm и доказывается, что Cnm = [m(т —1)(т)...(m-n+1)]/1.2.3... п. Перестановками из n предметов называются группы, которые можно составить из n предметов таким образом, чтобы все n предметов входили в каждую группу и одна группа от другой отличалась бы порядком распределения предметов. Число всех возможных перестановок из n предметов обозначается символом Pn и доказывается, что Pn = 1.2.3.4...n. Вычисление чисел Anm, Cnm, и Pn при больших m и n обыкновенным способом по приведенным формулам весьма затруднительно. В таких случаях удобнее пользоваться формулой Гудермана: В К. анализе употребляются три метода: прямой, способ производящих функций Лапласа и формулы теории конечных разностей. Н. Д.

Определение «Комбинаторный анализ» по БСЭ:
Комбинаторный анализ - комбинаторная математика, комбинаторика, отдел математики, в котором изучаются вопросы, связанные с размещением и взаимным расположением частей конечного множества объектов произвольной природы (а также бесконечных множеств, удовлетворяющих некоторым условиям конечности).
Идеи комбинаторного характера имеют самое широкое распространение в математике, в таких её разделах, как теория вероятностей, теория чисел, алгебра и др. Задачи К. а. известны уже с глубокой древности. В развитие К. а. большой вклад внесли многие математики. Однако в самостоятельную научную дисциплину К. а. стал оформляться лишь в 20 в.
К. а. тесно связан с теорией графов, теорией конечных автоматов и другими отраслями математики. Его результаты применяются при планировании и анализе научных экспериментов, кодировании сообщений, в линейном и динамическом программировании, в математической экономике и многих других областях науки и техники. Различают три типа проблем К. а. Задачи на перечисление. В задачах такого типа интересуются количеством возможных размещений, удовлетворяющих различным условиям, конечного множества объектов. Одним из типичных примеров такого рода задач является задача о размещении каких-либо n частиц в N ячейках; как частицы, так и ячейки могут быть различимыми и неразличимыми, и это обусловливает различные ответы на поставленную задачу. Для решения разнообразных перечислительных задач, встречающихся на практике, разработаны мощные методы; среди них основные - метод производящих функций и метод перечисления Пойа.
Задачи о существовании и построении. В задачах такого рода интересуются, существует ли конфигурация частей конечного множества, обладающая некоторыми заданными свойствами, и если да, то как её построить. Например, существует ли такая система подмножеств (блоков) данного конечного множества, что любые два различных элемента множества встречаются вместе в этих блоках заданное число раз. Такие системы называют блок-схемами. Они и им подобные конфигурации интенсивно изучаются в К. а. При этом большую роль играют теоретико-числовые и алгебраические методы.
Задачи о выборе. В задачах этого типа исследуются условия, при которых можно осуществить такой выбор подмножества или некоторой совокупности частей множества, чтобы удовлетворялись некоторые требования, носящие чаще всего оптимальный характер. Например, пусть дано множество и имеется некоторая система подмножеств; при каких условиях можно выбрать по одному элементу в каждом подмножестве так, чтобы все эти элементы были попарно различны? Это - задача о системе различных представителей для системы подмножеств. При решении задач о выборе, наряду с чисто комбинаторными соображениями, также существенно применяется алгебраический аппарат.
Лит.: Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ, пер. с англ., М., 1963; Раизер Г. Дж. Комбинаторная математика, пер. с англ., М., 1966.
В. Е. Тараканов.

Комбинаторные звуковые изменения    Комбинаторный анализ    Комбретовые