Квадратичная Форма
Квадратичная Форма в Энциклопедическом словаре:
Квадратичная Форма - форма 2-й степени n переменных , т. е. однородныймногочлен 2-й степени. Общий вид:,где коэффициент - постоянные.
Определение «Квадратичная Форма» по БСЭ:
Квадратичная форма - форма 2-й степени от n переменных x1, x2,..., xn, т. е. многочлен от этих переменных, каждый член которого содержит либо квадрат одного из переменных, либо произведение двух различных переменных. Общий вид К. ф. при n = 2:
ax12+bx22+cx1x2,
при n = 3:
ax12+bx22+cx22+dx1x2+ex1x3+fx2x3,
где a, b,..., ƒ - какие-либо числа. Произвольная К. ф. записывается так:
причём считают, что a
ij = a
ji. К. ф. от 2, 3 и 4 переменных непосредственно связаны с теорией линий (на плоскости) и поверхностей (в пространстве) 2-го порядка: в декартовых координатах
уравнение линии и поверхности 2-го порядка, отнесённых к центру, имеет вид А (х) = 1, т. е. его
левая часть является К. ф.; в однородных координатах левая часть любого уравнения линии и поверхности 2-го порядка является К. ф. При замене переменных x
1, x
2,..., x
n др. переменными y
1, y
2,..., y
n, являющимися линейными комбинациями старых переменных, К. ф. переходит в другую К. ф.
Путём соответствующего выбора новых переменных (невырожденного линейного
преобразования) можно привести К. ф. к виду суммы квадратов переменных, умноженных на
некоторые числа. При этом ни
число квадратов (ранг К. ф.), ни
разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов при квадратах
(сигнатура К. ф.) не зависят от способа
приведения К. ф. к сумме квадратов
(закон инерции). Указанное приведение можно
осуществить даже специальными (т. н. ортогональными) преобразованиями. Геометрически в этом случае
такое преобразование соответствует приведению линии или поверхности 2-го порядка к
главным осям.
При
рассмотрении комплексных переменных изучаются К. ф. вида
A(x) =
| n ∑ i=1
| n ∑ j=1
| aijxix̅j | ,
|
где x̅
j - число, комплексно сопряженное с x
j. Если,
кроме того, такая К. ф. принимает
только действительные значения (это
будет, когда a
ij = ā
ji, то её называют эрмитовой. Для эрмитовых форм справедливы основные факты, относящиеся к действительным К. ф.:
возможность приведения к сумме квадратов,
инвариантность ранга, закон инерции.
Лит.:
Мальцев А. И.,
Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970.
Квадратик
Квадратичная Форма
Квадратичное Отклонение