Квадратичный Вычет

Квадратичный Вычет в Энциклопедическом словаре:
Квадратичный Вычет - в теории чисел - частный случай степенного вычета.

Определение «Квадратичный Вычет» по БСЭ:
Квадратичный вычет - понятие теории чисел. К. в. по модулю m - число a, для которого сравнение xІ ≡ a (mod m) имеет решение: при некотором целом x число xІ−a делится на m; если это сравнение не имеет решений, то a называют квадратичным невычетом.
Например, если m = 11, то число 3 будет К. в., так как сравнение xІ ≡ 3 (mod 11) имеет решения x = 5, x = 6, а число 2 будет невычетом, т.к. не существует чисел x, удовлетворяющих сравнению xІ ≡ 2 (mod 11). К. в. являются частным случаем Вычетов степени n для n = 2. Если m равно простому нечётному числу p, то среди чисел 1, 2,..., p-1 имеется (p-1)/2 К. в. и (p-1)/2 квадратичных невычетов. Для изучения К. в. по простому модулю p вводится Лежандра символ , определяемый так: если а взаимно просто с p, то полагают = 1, когда а - К. в., и = - 1, когда а - квадратичный невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является так называемый закон взаимности К. в.: если p и q - простые нечётные числа, то

(

p q

)

(

q p

)

= (−1)

p−1 2

q−1 2

.

Эту закономерность открыл около 1772 Л. Эйлер, современная формулировка дана А. Лежандром, полное доказательство впервые дал в 1801 К. Гаусс. Удобным обобщением символа Лежандра является Якоби символ. Закон взаимности К. в. получил многочисленные обобщения в теории алгебраических чисел. И. М. Виноградовыми др. учёными изучалось распределение К. в. и суммы значений символа Лежандра.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

Квадратичный    Квадратичный Вычет    Квадратно