Линейное Пространство

Линейное Пространство в Энциклопедическом словаре:
Линейное Пространство - то же, что векторное пространство.

Определение «Линейное Пространство» по БСЭ:
Линейное пространство - тоже, что Векторное пространство. В функциональном анализе рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были Гильбертово пространство и пространство С [а, b] непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в которых введена норма элемента x - неотрицательное число ||x||, обращающееся в нуль лишь при x = 0 и обладающее свойствами ||λx|| = ||λ|| ||x|| и ||x+y|| < ||x|| + ||y|| (неравенство треугольника). Число ||x−y|| называют расстоянием между элементами x и y (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.
В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k − 1)-й степени P_k−1(t), чтобы

max	|tk − Pk−1(t)|
0≤ t ≤1

имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой

||x||1 =	max	|x(t)|	,
	0≤ t ≤1

эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен P_k−1(t), расстояние которого от функции t^k было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой

||x||2 =			,
		0 ∫ 1 |x(t)|І p(t) dt

и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы ‖x‖₁ и ‖x‖₂ существенно различны, так как, например, последовательность функций

xn(t) =		0				при		0 ≤ t ≤		1  2
		n(t−	1  2	)		при		1  2	< t ≤		1  2	+	1  n
		1				при		1  2	+	1  n	< t ≤		1

по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции

x(t) =		0			при		0 ≤ t ≤			1  2	+	1  n	.
		1			при		1  2	+	1  n	< t ≤		1

Следует отметить, что хотя все функции x_n(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы ||x||₂. При этом нормированное Л. п. называется полным, если для любой последовательности {x_n} его элементов, удовлетворяющих условию

lim	||xm − xn|| = 0,
m,n → ∞

существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.

lim	||xn − x|| = 0.
n → ∞

Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой ‖x‖₂, получают гильбертово пространство LІ_p. Полные нормированные Л. п. называется банаховыми, или В-пространствами, - по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.
Обобщением понятия B-пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством, 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л. п.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

Линейное Программированное Обучение    Линейное Пространство    Линейное Судоходство