Линейный Функционал

Линейный Функционал в Энциклопедическом словаре:
Линейный Функционал - обобщение понятия линейной формы на случайбесконечномерных пространств.

Определение «Линейный Функционал» по БСЭ:
Линейный функционал - обобщение понятия линейной формы на линейные пространства. Линейным функционалом ƒ на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию ƒ(x), определённую для всех x из Е и обладающую следующими свойствами:
1) ƒ(x) линейна, т. е. ƒ(αx + βy) = αƒ(x) + βƒ(y), где x и y - любые элементы из E, α и β - числа;

2) ƒ(x) непрерывна.
Непрерывность ƒ равносильна требованию, чтобы

|ƒ(x)| ||x||

было ограничено в E; выражение

sup	|ƒ(x)| ||x||
x∈E

называют нормой ƒ и обозначают ||ƒ||.
В пространстве C [a, b] функций α(t), непрерывных при a ≤ t ≤ b, с нормой

||α(t)|| =	max	|α(t)|
	a ≤ t ≤ b

Л. ф. являются, например, выражения:

ƒ1[α(t)] =

b ∫ a

α(t) dt ,

ƒ₂[α(t)] = α(t₀), a ≤ t₀ ≤ b.
В гильбертовом пространстве H Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l - любой фиксированный элемент пространства H; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.
Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.
Совокупность всех Л. ф. данного пространства E превращается в линейное нормированное пространство EЇ, если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство EЇ называют сопряжённым к E; это пространство играет большую роль при изучении E.
С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {x_n} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу x, если

lim	ƒ(xn) = ƒ(x)
n→∞

для любого Л. ф. ƒ. См. также Функциональный анализ.

Линейный Ускоритель    Линейный Функционал    Линейный Электродвигатель