Ляпунова Теорема

Ляпунова Теорема в Энциклопедическом словаре:
Ляпунова Теорема - одна из предельных теорем теории вероятностей.Устанавливает весьма общие условия сходимости распределения суммынезависимых случайных величин к нормальному распределению. Доказана А. М.Ляпуновым (1901).

Определение «Ляпунова Теорема» по БСЭ:
Ляпунова теорема - в теории вероятностей, теорема, устанавливающая некоторые весьма общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону. Сформулирована и доказана А. М. Ляпуновым в 1901. Л. т. завершает исследования П. Л. Чебышева, А. А. Маркова (старшего) и самого А. М. Ляпунова в этом основном для всей теории вероятностей направлении. Точная формулировка Л. т. такова: пусть независимые случайные величины X_i,..., X_n, ... имеют конечные математические ожидания EX_k, дисперсии DX_k и при δ > 0 абсолютные моменты
E|X_k − EX_k|^2+δ и пусть

Bn =

n ∑ k=1

DXk

- дисперсия суммы X₁, ..., X_n. Утверждается, что, если при некотором δ>0

		n ∑ k=1 E|Xk − EXk|2+δ
lim	=	—————————	= 0
n→∞		Bn1 + δ ⁄ 2

(условие Ляпунова), то вероятность неравенства

		n ∑ k=1 (Xk − EXk)
x1 <		————————	< x2
n→∞		√ЇBn

стремится при n → ∞ к пределу

1 √Ї2π

x2 ∫ x1

e−xІ ⁄ 2 dx

равномерно относительно всех значений x₁ и x₂. Ляпунов дал также оценку скорости сходимости в Л. т. В дальнейшем были установлены условия, расширяющие условие Ляпунова и являющиеся не только достаточными, но в некотором смысле необходимыми. См. Предельные теоремы теории вероятностей.
Лит.: Ляпунов А. М., Новая форма теоремы о пределе вероятности, Собрание сочинений, т. 1, М., 1954, с. 157; Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М. - Л., 1946, с. 275.
А. В. Прохоров.

Ляпунов    Ляпунова Теорема    Лярвы