Матричные игры

Определение «Матричные игры» по БСЭ:
Матричные игры - понятие игр теории. М. и. - игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II - n стратегий, то игра может быть задана (m Ч n)
-maтрицей A = ||aij||, где aij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i (i = -1, ..., m), а игрок II - стратегию j (j = 1, ..., n). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (частным случаем которых являются М. и.), игрок I стремится выбрать такую стратегию i, на которой достигается

v1 = max
i
min
j
aij ;

игрок II стремится выбрать стратегию j, на которой достигается

v2 = min
j
max
i
aij .

Если v1 = v2, то пара (i, j) составляет седловую точку игры, то есть выполняется двойное неравенство
aij ≤ aij ≤ aij; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.
Число
aij
называется значением игры; стратегии i, j называются оптимальным и чистыми стратегиями игроков I и II соответственно. Если v1 ≠ v2, то всегда
v1 < v2; в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий (то есть вероятностных распределений на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с математическими ожиданиями выигрышей.
Основная теорема теории М. и. (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что в любой М. и. существуют оптимальные смешанные стратегии х*, у*, на которых достигаемые «минимаксы» равны (общее их значение есть значение игры). Например, игра с матрицей


154

232

имеет седловую точку при i = 2, j = 1, а значение игры равно 2; игра с матрицей


10

12

не имеет седловой точки. Для неё оптимальные смешанные стратегии суть х* = (і/4, ј), y* = (Ѕ, Ѕ); значение игры равно Ѕ.
Для фактического нахождения оптимальных смешанных стратегий чаще всего используют возможность сведения М. и. к задачам линейного программирования. Можно использовать так называемый итеративный метод Брауна - Робинсон, состоящий в последовательном фиктивном
«разыгрывании» данной игры с выбором игроками в каждой данной партии своих чистых стратегий, наилучших против накопленных к этому моменту стратегий оппонента. Игры, в которых один из игроков имеет только две стратегии, просто решить графически.
М. и. могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математической статистики, военного дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков рассматривают «природу», под которой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).
Лит.: Матричные игры. [Сборник переводов], под редакцией Н. Н. Воробьева, М., 1961; Нейман Дж. фон, Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, перевод с английского, М., 1970; Оуэн Г., Теория игр, перевод с английского, М., 1971.
А. А. Корбут.

Матрица рассеяния    Матричные игры    Матросова тормоз