Минимальные поверхности

Определение «Минимальные поверхности» по БСЭ:
Минимальные поверхности - поверхности, у которых средняя кривизна во всех точках равна нулю (см. Кривизна). М. п. появляются при решении следующей вариационной задачи: в пространстве дана некоторая замкнутая кривая; среди всех возможных поверхностей, проходящих через эту кривую, найти такую, для которой часть её, заключённая внутри кривой, имела бы наименьшую площадь (минимальную площадь - отсюда название). Если заданная кривая - плоская, то решением, очевидно, будет ограниченный этой кривой кусок плоскости. В случае неплоской кривой необходимое условие, которому должна удовлетворять поверхность с минимальной площадью, было установлено Ж. Лагранжем в 1760 и несколько позже истолковано геометрически Ж. Мёнье в форме, эквивалентной требованию, чтобы средняя кривизна обращалась в нуль. Хотя это условие не является достаточным, т. е. не гарантирует минимума площади, однако впоследствии название
«М. п.» было сохранено за всякой поверхностью с нулевой средней кривизной. Если предположить поверхность заданной уравнением z = ƒ(х, y), то, приравнивая нулю выражение для средней кривизны, приходят к дифференциальному уравнению с частными производными 2-го порядка:
(1 + qІ)r - 2pqs + (1 + pІ)t = 0,
где

p =	∂z ∂x	,  q =	∂z ∂y	,
r =	∂Іz ∂xІ	,  s =	∂Іz ∂x ∂y	,  t =	∂Іz ∂yІ	.

Исследованием этого уравнения в различных формах занимались многие математики, начиная с Ж. Лагранжа и Г. Монжа. Примерами М. п. могут служить: обыкновенная Винтовая поверхность; Катеноид - единственная (вещественная) М. п. среди поверхностей вращения;
«поверхность Шерка», определяемая уравнением

z = ln

cos y cos x

.

М. п. имеет во всех точках неположительную полную кривизну. Бельгийский физик Ж. Плато предложил способ экспериментального осуществления М. п. при помощи мыльных плёнок, натянутых на проволочный каркас.
Лит.: Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1, М. - Л., 1947; Курант Р., Роббинс Г., Что такое математика, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957.

Минимальная логика    Минимальные поверхности    Минимум-ареал