Ньютона Бином

Ньютона Бином в Энциклопедическом словаре:
Ньютона Бином - формула, выражающая целую положительную степень суммы двухслагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициентыпри них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или :Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата икуба суммы двух слагаемых x и y.

Определение «Ньютона Бином» по БСЭ:
Ньютона бином - название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:

(a+b)n = an+

n 1

an−1b +

n(n−1) 1·2

an−2b2+ ... +

n(n−1)...(n−k+1) 1·2·...·k

an−kbk+ ... +bn,  (1)

(1) где n - целое положительное число, a и b - какие угодно числа.
Частными случаями Н. б. при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы a и b: (a+b)² = a² + 2ab + b², (а+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; при n = 4 получают (a+b)⁴ = a⁴+ 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ и т.д.
Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при a^n−kb^k обозначается так: (_n^k) или C_n^k. Последнее обозначение связано с комбинаторикой: C_n^k есть число сочетаний из n различных между собой элементов, взятых по k. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2ⁿ. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b)ⁿ равна определённому коэффициенту в разложении (а + b)ⁿ⁺¹; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а+b)³ дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а+b)⁴. Вообще:
C_n^k + C_n^k+1 = C_n+1^k+1.   (2)
Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).
Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона; но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем, 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при a^n−kb^k служит выражение

n(n−1)...(n−k+1) 1·2·...·k

,

которое, в случае целого положительного n, обращается в нуль при всяком k > n, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |b| < |a|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b)ⁿ (см. Ряд). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).

Ньютон    Ньютона Бином    Ньютона Закон Тяготения