Определитель

Значение слова Определитель по Ефремовой:
Определитель - 1. То, что определяет собою что-л.
2. Книга, служащая для справок при определении чего-л.

Значение слова Определитель по Ожегову:
Определитель - Книга для справок при определении чего-нибудь Spec


Определитель То, что определяет, выражает собой что-нибудь Lib

Определитель в Энциклопедическом словаре:
Определитель - (детерминант) - составленное по определенному правилу из n2чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследованиисистем алгебраических уравнений 1-й степени. Число n называется порядкомопределителя. Так, определитель 2-го порядка, составленный из четырехчисел a1, b1, a2, b2, обозначается:и равен a1b2-b1a2.

Значение слова Определитель по словарю Ушакова:
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
определителя, м. (книжн.). 1. То, что определяет, выражает собою что-н. 2. Книга, служащая для справок при определении чего-н. (науч.). Определитель растений. Определитель грибов. 3. Выражение, составляемое из коэффициентов системы уравнений 1-й степени с несколькими неизвестными для упрощения вычисления корней уравнений (мат.).

Значение слова Определитель по словарю Брокгауза и Ефрона:
Определитель (Determinant). — Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными: а 1 х + b1 у = c1, а 2 х + b2 у = c2, получаем следующие выражения для x и у: x = (c1b2 c2b1)/(a1b2 — a2b1), y = (a1c2 — a2c1)/(a1b2 — a2b1). Подобным же образом, решая три уравнения первой степени с тремя неизвестными, получим выражение последних в виде отношений многочленов, составленных из постоянных, входящих в уравнения. Например, многочлен, стоящий в знаменателях, будет: a1b2c3a1b3c2 + a2b3c1a2b1c3 + a3b1c2a3b2c1. Многочлены такого вида называются определителями и обозначаются особыми символами; так: Свойства О. и действия над ними рассматриваются в алгебраическом анализе. Многие сложные вычисления значительно упрощаются при пользовании О. В высшем анализе приходится пользоваться так называемыми функциональными О., составленными из производных от функций, зависящих от нескольких переменных; таков, напр., функциональный определитель: Трех функций φ 1, φ 2, φ 3 от трех переменных х 1, x2, x3. Есть на всех языках сочинения, заключающие теорию О. См. Ващенко-Захарченко, "Теория определителей"; Baltzer, "Th éorie et application des déterminants". Д. Б.

Определение слова «Определитель» по БСЭ:
Определитель - детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из nІ элементов (чисел, функций и т. п.):




a11a12 ... a1n

a21a22 ... a2n
...... ... ...
an1an2 ... ann

(1)

(каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

∑ ± a a ... anγ.
(2)

В этой формуле α, β, ..., γ есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n. Перед членом берётся знак +, если перестановка α, β, ..., γ чётная, и знак - , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной - в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 - нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам α, β, ..., γ чисел 1, 2, ..., n.
Число различных перестановок n символов равно n! = 1·2·3·...·n; поэтому О. содержит n! членов, из которых Ѕn! берётся со знаком + и Ѕn! со знаком -. Число n называется порядком О.
О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:




a11a12 ... a1n

a21a22 ... a2n
...... ... ...
an1an2 ... ann

(3)

(или, сокращённо, в виде |aik|). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:


a11a12

= a11a22 − a12a21,
a21a22



a11a12a13

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
a21a22a23
a31a32a33

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование:


x1y1

x2y2

равен площади параллелограмма, построенного на векторах a1 = (x1, y1) и a2 = (х22), а


x1y1z1

x2y2z2
x3y3z3

равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a1 = (x1, y1, z1), a2 = (x2, у2, z2) и а3 = (х3, y3, z3) (системы координат предполагаются прямоугольными).
Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:




a11 x1 +a12 x2 + ... + a1n xn = b1,

a21 x1 +a22 x2 + ... + a2n xn = b2,
...... ... ...... ,
an1 x1 +an2 x2 + ... + ann xn = bn.

(4)

Эта система имеет одно определённое решение, если О. |aik|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное xm (m = 1, 2, ..., n) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|aik|, а в числителе - О., получаемый из |aik| заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при хm) числами b1, b2, ..., bn. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными


a11 x1 +a12 x2 = b1,

a21 x1 +a22 x2 = b2,

решение даётся формулами

x1 =



b1a12

b2a22

;
x2 =



a11b1

a21b2

.





a11a12

a21a22




a11a12

a21a22


Если b1 = b2 =..., = bn = 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |aik| = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (х3, y3, z3), может быть записано в виде:


x y z 1
= 0.
x1y1z11
x2y2z21
x3y3z31

О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:
1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:



a11a12 ... a1n

a21a22 ... a2n
...... ... ...
an1an2 ... ann

=


a11a21 ... an1

a12a22 ... an2
...... ... ...
a1na2n ... ann

;

2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:



a11a12a13a14

a21a22a23a24
a31a32a33a34
a41a42a43a44

= −


a11a14a13a12

a21a24a23a22
a31a34a33a32
a41a44a43a42

;

3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:


a11a12a13ka11

= 0;
a21a22a23ka24
a31a32a33ka34
a41a42a43ka44

4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:



a11a12a13a14

ka21ka22ka23ka24
a31a32a33a34
a41a42a43a44

= k


a11a12a13a14

a21a22a23a24
a31a32a33a34
a41a42a43a44

;

5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом - из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) - те же, что и в данном О.; так, например:


a11a12k1+l1

=

a11a12k1

+

a11a12l1

;
a21a22k2+l2
a21a22k2
a21a22l2
a31a32k3+l3
a31a32k3
a31a32l3

6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:


a11a12a13a14

=

a11a12a13+ka11a14

;
a21a22a23a24
a21a22a23+ka21a24
a31a32a33a34
a31a32a33+ka31a34
a41a42a43a44
a41a42a43+ka41a44

7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i-й строки имеет следующий вид:


a11a12 ... a1n

= ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin.
a21a22... a2n
......... ...
ai1ai2... ain
......... ...
an1an2... ann

Коэффициент Aik, стоящий при элементе aik в этом разложении, называется алгебраическим дополнением элемента aik. Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: Aik = (-1)i+kDik, где Dik - минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу aik, то есть О. порядка n-1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aik. Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:



a11a12a13

a21a22a23
a31a32a33

= −a12


a21a23

a31a33

+ a22


a11a13

a31a33

−a32


a11a13

a21a23

.

Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О. n-го порядка приводится к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О. n-го порядка приходится выполнять примерно nі арифметических операций).
Отметим ещё правило умножения двух О. n-го порядка: произведение двух О. n-го порядка может быть представлено в виде О. того же n-го порядка, в котором элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу, получается, если каждый элемент i-й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.
В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (Якобиан)


∂ƒ1

∂x1
∂ƒ1

∂x2
... ∂ƒ1

∂xn

.
∂ƒ2

∂x1
∂ƒ2

∂x2
... ∂ƒ2

∂xn
...... ... ...
∂ƒn

∂x1
∂ƒn

∂x2
... ∂ƒn

∂xn

Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от переменных х1, x2, ..., хn к переменным
y1 = ƒ1(x1, ..., xn),

y2 = ƒ2(x1, ..., xn),

......................

yn = ƒn(x1, ..., xn).
Тождественное равенство в некоторой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функций f1(x1, ..., xn), f2(x1, ..., xn), ..., fn(x1, ..., xn).
Во 2-й половине 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. называются выражения вида:



a11a12a13...

a21a22a23...
............
(5)

(односторонний бесконечный О.) и


.....................

...a−2,−2a−2,−1a−2,0a−2,1a−2,2...
...a−1,−2a−1,−1a−1,0a−1,1a−1,2...
...a0,−2a0,−1a0,0a0,1a0,2...
...a1,−2a1,−1a1,0a1,1a1,2...
.....................

(двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к которому стремится О.


a11a12...a1n

a21a22...a2n
............
an1an2...ann

при бесконечном возрастании числа n. Если этот предел существует, то О. (5) называется сходящимся, в противном случае - расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О.
Теория О. конечного порядка создана в основном во 2-й половине 18 в. и 1-й половине 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера, французских математиков А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коши, немецких математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин
«О.» («детерминант») принадлежит К. Гауссу, современное обозначение - английскому математику А. Кэли.
Лит. см. при статьях Линейная алгебра, Матрица.

Определимый    Определитель    Определительный