Положительная Логика

Положительная Логика в Энциклопедическом словаре:
Положительная Логика - совокупность логических теорий, в которых изучаютсяспособы рассуждений, не связанные с опровержениями; не содержит операцииотрицания.

Определение «Положительная Логика» по БСЭ:
Положительная логика - логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А - ложно» есть лишь иная форма выражения «не-А», в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств, в том числе доказательств от противного, а также явные определения отрицания типа
⌉ А = _dfA (f, где ⌉ - знак отрицания, ⊃ - Импликация, а ƒ - пропозициональная переменная или какое-либо «допустимое» абсурдное утверждение. П. л. можно назвать, таким образом, логикой без отрицания.
Логические законы (См. Логический закон), соответствующие правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях, из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией - импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквиваленцией.
Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика) задаётся с помощью двух аксиомных схем:
1. A ⊃ (В ⊃ A),
2. (A ⊃ (В ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ В) ⊃ (A ⊃ C)
и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний - добавлением к схемам (1) и (2) следующих:
3. (А & В) ⊃ A,
4. (A & В) ⊃ В,
5. A ⊃ (В ⊃ (A & В)),
6. (A ⊃ C) ⊃ ((B ⊃ C) ⊃ ((A V В) ⊃ C)),
7. A ⊃ (A VB),
8. В ⊃ (A V B)
и определения эквиваленции как сокращения для выражения (A ⊃ В) & (В ⊃ A). Более сильные логические исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы
9. (A ⊃ В) ⊃ ((А ⊃⌉ В) ⊃ ⌉ A)
или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний - минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему
10. ⌉ A ⊃ (A ⊃ В)
(противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему
11. ⌉ А (А
(исключенного третьего принцип (См. Исключённого третьего принцип)), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.
Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы - вообще как «частичные системы». Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые
«сами по себе», и «те же» исчисления «внутри» более сильной логики - это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.
Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, §§ 2-6.
М. М. Новосёлов.

Положеньице    Положительная Логика    Положительно