Полная система функций
Определение «Полная система функций» по БСЭ:
Полная система функций - такая система функций Φ = {φ(x:)}, определённых на отрезке [a, b],
что не существует функции ƒ(x), для которой ∫ab[ƒ(x)]І dx > 0
и которая была бы ортогональна ко всем функциям φ(x) из Φ, т. е. для которой
∫abƒ(x)φ(x) dx = 0
при любой функции φ(x) из Φ (интегралы понимаются в смысле Лебега, см. Интеграл). Система функций может быть полной на одном отрезке и не быть полной на другом. Например, 1, sinx, cos x,..., sinnx, cosnx,... образуют П. с. ф. на отрезке [0, 2π], но не образуют П. с. ф. на отрезке [-2π, 2π]; последнее вытекает из того, что
∫−2π2πsinІ(x ⁄ 2) dx = 2π > 0,
∫−2π2πsin(x ⁄ 2)φ(x) dx = 0
для любой функции φ(x) рассматриваемой системы. Для того чтобы система функций с интегрируемым квадратом была П. с. ф., необходимо и достаточно, чтобы любую функцию с интегрируемым квадратом на отрезке [а, b] можно было с любой степенью точности приблизить в среднем линейными комбинациями функций из этой системы. См. Ортогональная система функций.
Полная система вычетов
Полная система функций
Полная спелость
