Приближённые формулы

Определение «Приближённые формулы» по БСЭ:
Приближённые формулы - математические формулы, получаемые из формул вида ƒ(x) = f*(x) + ε(x), где ε(x) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Таким образом, П. ф. имеет вид ƒ(x)
≈ f*(x).
Например, П. ф. (1 + x)² ≈ 1 + 2x получается из точной формулы для (1 + x)І при малых |x|; этой формулой можно пользоваться при вычислении с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если |x| соответственно не больше 0,0707..., 0,0223..., 0,00707... Эта П. ф. даёт результат тем более точный, чем x ближе к 0. Но так бывает не всегда. Например, точность П. ф. tg20/20031142.tif тем больше, чем x ближе к
π/2.
В таблице приведено несколько наиболее употребительных П. ф., причём показано, какого числа не должно превосходить |x|, чтобы формула давала k точных десятичных знаков.

Формула	k = 2	k = 3	k = 4
(1 + x)і ≈ 1 + 3x	0,04	0,012	0,004
20/20031132.tif	0,06	0,022	0,007
20/20031133.tif	0,19	0,062	0,020
20/20031134.tif	0,20	0,065	0,021
20/20031135.tif	0,31 (17°48)	0,144 (8°15)	0,067 (3°50)
20/20031136.tif	0,10 (5°43)	0,031 (l48)	0,010 (0°34)
20/20031137.tif	0,25 (14°8)	0,112 (6°25)	0,053 (3°2)
20/20031138.tif	0,14	0,47	0,015
20/20031139.tif	0,04	0,014	0,004
20/20031140.tif	0,25	0,119	0,055

Часто П. ф. получают с помощью разложения функций в ряды, например в ряд Тейлора. Чтобы уверенно применять П. ф., необходимо иметь оценку разности между точным и приближённым выражениями функции. Зная, например, что разность между sinx и двучленом 20/20031143.tif не превосходит по абсолютному значению
¹⁄₁₂₀ xі, легко убедиться, что П. ф. sin x ≈ x − ¹⁄₆ xі даёт значения sin x с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если x соответственно меньше 0,89 (51°), 0,55 (32°), 0,34 (20°).

Приближённые вычисления    Приближённые формулы    Прибойный поток