Равномерная непрерывность
Определение «Равномерная непрерывность» по БСЭ:
Равномерная непрерывность - важное понятие математического анализа. Функция ƒ(x) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого ε > 0 можно найти такое δ = δ(ε) > 0, что |ƒ(x1) - ƒ(x2)|<
ε для любой пары чисел x1 и x2 из данного множества, удовлетворяющей условию |x1-x2|< δ (ср. Непрерывная функция). Например, функция ƒ(x) = x2 равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]: если
|x1 - x2|
< ε⁄2 , то
|ƒ(x1)−ƒ(x2)| =
|x1 − x2||x1 + x2| < ε
(так как для 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1 обязательно |x1 + x2| ≤ 2).
Вообще функция, непрерывная в каждой точке отрезка [а, b], равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь места.
Так, например, функция
ƒ(x) = 1⁄x
непрерывна в каждой точке интервала 0 < x < 1,
но не является равномерно непрерывной в этом интервале, потому что, например,
при ε = 1 для любого δ > 0 (δ < 1) мы имеем удовлетворяющие неравенству
|x1 - x2| < δ
числа x1 = δ⁄2 и
x2 = δ , для которых
|ƒ(x1)−ƒ(x2)| = 1⁄δ > 1.
Равновесие статистическое
Равномерная непрерывность
Равномерная сходимость
