Спектральное разложение
Определение «Спектральное разложение» по БСЭ:
Спектральное разложение - линейного оператора, представление линейного оператора А (См. Линейный оператор) в виде линейной комбинации операторов проектирования на взаимно перпендикулярные оси или (более общо) в виде специального интеграла, содержащего под знаком интегрирования семейство операторов проектирования, удовлетворяющее определённым условиям (так называемое разложение единицы, отвечающее оператору A). Изучение С. р. и их возможных обобщений для различных типов линейных операторов составляет основное содержание спектрального анализа линейных операторов.
Спектральное разложение -
случайной функции, разложение случайной функции (в
частности, случайного процесса) в ряд или
интеграл по той или иной
специальной системе функций
такое, что
коэффициенты этого разложения представляют
собой взаимно некоррелированные случайные величины.
Наиболее известный класс С. р. случайных функций - представления стационарных случайных процессов X(t) в виде интеграла
Фурье - Стилтьеса
где Z(λ) - случайная
функция с некоррелированными приращениями.
Существование такого С. р. показывает, что стационарный случайный
процесс всегда можно рассматривать как
наложение некоррелированных друг с другом гармонических
колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами. С. р. аналогичного вида, но с заменой гармонических колебаний n-мерными плоскими волнами, имеет
место и для однородных случайных
полей в n-мерном пространстве.
Другой тип С. р. случайных функций - это разложение случайного процесса X(t), заданного на конечном отрезке оси (или, более общо, случайной функции X(t),
заданной на
ограниченной области n-мерного пространства), в ряд вида
где φ
k(t) и λ
k - собственные функции и собственные
значения интегрального оператора в функциональном пространстве с ядром, равным корреляционной функции случайного процесса (или функции) X(t), a Z
k, k = 1, 2,..., -
последовательность попарно некоррелированных случайных величин
единичной дисперсии. С. р. специального вида имеют место
также для однородных и изотропных случайных полей в евклидовых пространствах и для однородных полей на пространствах с группой
преобразований, отличных от евклидова пространства.
Лит.: Яглом А. М., Спектральные представления для различных классов случайных функций, в кн.;
Труды 4-го Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 250-73: Гихман И. И.,
Скороход А. В.,
Теория случайных процессов, т.1, М., 1971.
А. М. Яглом.
Спектральное разложение - функции, разложение функции в ряд по собственным функциям некоторого линейного оператора
(например, конечно-разностного, дифференциального или интегрального), действующего в функциональном пространстве, или одно из возможных обобщений такого разложения. Частным
случаем С. р. является разложение функции, заданной на конечном отрезке, в Фурье ряд (т. е. гармонический
анализ колебаний), а также разложения по другим известным
полным системам функций. В случае линейного оператора A, имеющего
непрерывный спектр, собственные функции, понимаемые в обычном смысле, не существуют; тем не
менее и
здесь весьма часто удаётся
определить эти функции (но
только они уже не будут
являться элементами того функционального пространства, в котором действует оператор А) и
задать С. р. широкого класса функций как разложение в интеграл по системе функций, зависящей от непрерывно изменяющегося аргумента
(пример С. р. этого типа - разложение в Фурье интеграл).
Для несамосопряжённых операторов A
наряду с собственными функциями приходится рассматривать ещё и цепочки функций, присоединённых к собственным функциям;
однако и для таких операторов в функциональных пространствах во многих случаях удаётся
доказать теорему о
полноте системы всех собственных и присоединённых функций и,
исходя отсюда, получить С. р. широкого класса функций по всевозможным собственным и присоединённым функциям оператора A.
С. р. функций
широко используются для
решения различных конечно-разностных, дифференциальных и интегральных
уравнений и находят
многочисленные приложения в задачах классической
механики (особенно теории колебаний),
электродинамики, квантовой механики, теории
связи, теории автоматического
управления и других разделах математической физики и прикладной математики.
Лит.: Березанский Ю. М.,
Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., т. 1-2, М., 1960-61; Наймарк М. А., Линейные дифференциальные
операторы, 2 изд., М., 1969;
Левитан Б. М., Capгсян И. С.,
Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы), М., 1970.
А. М. Яглом.
Спектрально-двойные звёзды
Спектральное разложение
Спектральные приборы