Спинорное исчисление

Определение «Спинорное исчисление» по БСЭ:
Спинорное исчисление - математическая теория, изучающая величины особого рода - спиноры. При изучении физических величин их относят обычно к той или иной системе координат. В зависимости от закона преобразования этих величин при переходе от одной системы координат к другой различают величины различных типов (тензоры, псевдотензоры). При изучении явления спина электрона было обнаружено, что существуют физические величины, не принадлежащие к ранее известным типам (например, эти величины могут быть определены лишь с точностью до знака, т. к. при повороте системы координат на 2π вокруг некоторой оси все компоненты этих величин меняют знак). Такие величины были рассмотрены ещё в 1913 Э. Картаном в его исследованиях по теории представлений групп и вновь открыты в 1929 Б. Л. Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике. Он назвал эти величины спинорами.
Спиноры первой валентности задаются двумя комплексными числами (ξ¹, ξ²), причём в отличие, например, от тензоров, для которых различные совокупности чисел задают различные тензоры, для спиноров считают, что совокупности (ξ¹, ξ²) и (−ξ¹, −ξ²) определяют один и тот же спинор. Это объясняется законом преобразования спиноров при переходе от одной системы координат к другой. При повороте системы координат на угол θ вокруг оси с направляющими косинусами cos χ₁, cosχ₂, cosχ₃ компоненты спинора преобразуются по формулам
ξ¹′ = αξ¹ + βξ², ξ²′ = γξ¹ + δξ²,
где

α = λ + iμ,    β = ν + iρ,    γ = −βЇ, δ = αЇ,

λ = cos

θ 2

μ = sin

θ 2

cos χ1,

ν = sin

θ 2

cos χ2,

ρ = sin

θ 2

cos χ3.

В частности, при повороте системы координат на угол 2π, возвращающем её в исходное положение, компоненты спинора меняют знак, что объясняет тождественность спиноров (ξ¹, ξ²) и (−ξ¹, −ξ²). Примером спинорной величины может служить волновая функция частицы со спином Ѕ (например, электрона).
Матрица

σ =		α	β
		γ	δ

является в этом случае унитарной матрицей.
К спинорам относят и величины, компоненты которых ξ¹Ї, ξ²Ї комплексно сопряжены с компонентами спинора (ξ¹, ξ²). Матрица преобразования этих величин имеет вид

σ =		αЇ	βЇ		.
		γЇ	δЇ

Пусть Oxyz и 0хуz - две системы координат с параллельными осями, причём Oxyz движется относительно Охуz со скоростью v = cthθ (где c - скорость света) в направлении, образующем с осями координат углы
χ₁, χ₂, χ₃. При Лоренца преобразованиях, соответствующих переходу от Oxyz к Oxyz, компоненты спинора преобразуются по формулам
ξ¹′ = αξ¹ + βξ², ξ²′ = γξ¹ + δξ²,
где

α = λ + μ,    β = ν + iρ,    γ = βЇ,    δ = λ − μ,

λ = ch

θ 2

,

μ = sh

θ 2

cos χ1,

ν = sh

θ 2

cos χ2,

ρ = sh

θ 2

cos χ3.

Если рассматривают преобразования Лоренца для случая, когда оси координат непараллельны, то матрица σ преобразования компонент спинора может быть любой комплексной матрицей второго порядка, определитель которой равен единице, - унимодулярной матрицей.
Наряду с введёнными выше контравариантными компонентами ξ¹, ξ² спинора, можно ввести ковариантные компоненты ξ₁, ξ₂ положив
ξ_α = ε_αβ ξ^β, где

εαβ =		0	1		.
		−1	0

(как всегда, по повторяющимся индексам производится суммирование). Иными словами, ξ² = ξ₁, ξ¹ = −ξ₂. Ковариантные компоненты преобразуются матрицей

	δ	−γ		.
	−β	α

При вращениях эта матрица совпадает с матрицей σ, т. е. при вращениях ковариантные компоненты спинора преобразуются как компоненты комплексно сопряжённого спинора.
Спинорная алгебра строится аналогично обычной тензорной алгебре (см. Тензорное исчисление). Спинором валентности r (или спинтензором) называется совокупность 2^r комплексных чисел a^{λ₁λ₂...λ_r}, определённых с точностью до знака, которая при переходе от одной системы координат к другой преобразуется как произведение r компонент спиноров первой валентности, т. е. как ξ^λ₁ ξ^λ₂ ... ξ^λ_r. Аналогично определяются комплексно сопряжённый спинор валентности r, смешанный спинор, спинор с ковариантными компонентами и т. д. Сложение спиноров и умножение спинора на скаляр определяются покоординатно. Произведением двух спиноров называется спинор, компонентами которого являются попарные произведения компонент сомножителей. Например, из спиноров второй и третьей валентности a_λμ и b^νρσ можно образовать спинор пятой валентности a_λμb^νρσ.
Свёрткой спинора a^{λ₁λ₂ ... λ_r} по индексам λ₁ и λ₂ называется спинор
b^{λ₃λ₄ ... λ_r} = ε_αβ a^{αβλ₃λ₄ ... λ_r}.
В спинорной алгебре часто используются тождества
ξ_λη^λ = −ξ^λη_λ,

b^λc_μd^μ + c^λd_μb^μ + d^λb_μc^μ = 0.
В квантовой механике важную роль играет исследование систем линейных дифференциальных уравнений, связывающих величины спинорного типа, которые остаются инвариантными при унимодулярных преобразованиях, т. к. только такие системы уравнений релятивистски инвариантны. Наиболее важны приложения спинорного анализа к теории уравнений Максвелла и Дирака. Запись этих уравнений в спинорной форме позволяет сразу установить их релятивистскую инвариантность, установить характер преобразования входящих в них величин. Спинорная алгебра находит также приложения к квантовой теории химической валентности. Теория спиноров в пространствах высшего числа измерений связана с представлениями групп вращений многомерных пространств. С. и. связано также с некоторыми вопросами неевклидовой геометрии.
Лит.: Румер Ю. Б., Спинорный анализ, М. - Л., 1936; Картан Э., Теория спиноров, пер. с франц., М., 1947; Ландау Л., Лифшиц Е., Квантовая механика, ч. 1, М. - Л., 1948 (Теоретическая физика, т. 5, ч. 1); Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; его же, Теория спиноров,
«Успехи математических наук», 1955, т. 10, в. 2(64).

Спинор    Спинорное исчисление    Спиральная антенна