Скалярное Произведение

Скалярное Произведение в Энциклопедическом словаре:
Скалярное Произведение - векторов а и b - число (скаляр) (a,b), равноепроизведению длин этих векторов на косинус угла ? между ними, т. е. (a,b)= |а|.|b| cos ?. Напр., работа силы F вдоль прямолинейного отрезка S равна(F,S).

Определение «Скалярное Произведение» по БСЭ:
Скалярное произведение - векторов а и b, Скаляр, равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (а, b) (или ab). Например, работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F, S). Свойства С. п.: 1) (а, b) = (b, а), 2)
(αа, b) = α(а, b) (α - скаляр), 3) (a, b + c)= (a, b) + (а, c), 4) (a, a) > 0, если а ≠ 0, и (а, а) = 0, если а = 0.
Длина вектора а равна 23/2303929.tif. Если (а, b) = 0, то либо а = 0, либо b = 0, либо a ⊥ b. Если а = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, b3), то (а, b) = a1 b1 + a2b2 + a3b3 (в прямоугольных декартовых координатах).
Понятие «С. п.» обобщают на n-мерные векторные пространства, где равенство

(а, b) =
n

k=1
ak bk

принимают за определение С. п. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрические понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное Линейное пространство, в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы ||a|| = √Ї(a, a) (см. Полное пространство), называют гильбертовым пространством. Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием

(а, b) =

(b, а)

и С. п. определяют как

n

k=1
xkk.

Векторы а и b можно рассматривать как Кватернионы a1i + a2j + a3k и b1i + b2j + b3k. Тогда их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторное произведение - векторной части).

Скалярное Поле    Скалярное Произведение    Скалярный