Тейлора формула

Определение «Тейлора формула» по БСЭ:
Тейлора формула,
формула

ƒ(x) = ƒ(a) +

ƒ′(a) 1!

(x−a) +

ƒ″(a) 2!

(x−a)2 + ... +

ƒ(k)(a)  k!

(x−a)k + ... +

ƒ(n)(a)  n!

(x−a)n + ...

,

изображающая функцию ƒ(x), имеющую n-ю производную ƒ⁽ⁿ⁾(a) в точке x=a, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням x−a, и остаточного члена R_n(x), являющегося в окрестности точки a бесконечно малой более высокого порядка, чем (x−a)ⁿ [то есть R_n(x) = a_n(x)(x−a)ⁿ, где a_n(x) → 0 при x → a]. Если в интервале между a и x существует (n+1)-я производная, то R_n(x) можно представить в видах:

Rn(x)	=	ƒ(n+1)(ξ) (n+1)!	(x−a)n+1	=
	=	ƒ(n+1)(ξ) n!	(x−ξ1)(x−a)n	,

где ξ и ξ₁ - какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции ƒ(x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.
Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М.. 1953; Фихтенгольц Г. М.. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М.. 1969.

Тейлериоз    Тейлора формула    Теймураз I