Фредгольма уравнение

Определение «Фредгольма уравнение» по БСЭ:
Фредгольма уравнение - интегральные уравнения вида:



ƒ(x) =
b

a
K(x,s) φ(s) ds ,

(1)

a ≤ x, s ≤ b, (Ф. у. 1-го рода) и



ƒ(x) = φ(x) − λ
b

a
K(x,s) φ(s) ds ,

(2)

a ≤ x, s ≤ b, (Ф. у. 2-го рода),
где K (x, s) - заданная непрерывная функция от x и s, называемая ядром уравнения, ƒ(x) - заданная функция, φ(x) - искомая функция, λ - параметр (см. Интегральные уравнения). Уравнения (1) и (2) были изучены в 1900-1903 Э. Фредгольмом. Теория Ф. у. 2-го рода проще и они чаще используются в приложениях. Построение устойчивых решений Ф. у. 1-го рода в общем случае возможно лишь с помощью специальных регуляризирующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач. Если λ не является собственным значением уравнения (2), то это уравнение имеет единственное непрерывное решение, определяемое формулой:



φ(x) = ƒ(x) + λ
b

a
R(x,s,λ) ƒ(s) ds ,

(3)

где R (x, s; λ) = D (x, s, λ)/D (λ) называется резольвентой уравнения (2). Здесь

 D(x,s,λ) = 


n=0
dn(x,s) λn ,

d0(x,s) = K(x,s),

dm(x,s) = K(x,s)dm +
b

a
K(x,t) dm−1(t,s) dt,


D(λ) =  


n=0
dn λn,


dm+1 = 1

m+1
b

a
dm(s,s) ds,    d0 = 1.

Лит.: см. при ст. Интегральные уравнения.

Фревиль    Фредгольма уравнение    Фредегонда