Дробно-линейная функция

Определение «Дробно-линейная функция» по БСЭ:
Дробно-линейная функция - функция вида

y =

ax+b cx+d

,

т. е. частное двух линейных функций. Д.-л. ф. - простейшая среди рациональных функций. При ad - bc = 0 она сводится к тождественной постоянной;
если ad - bc ≠ 0, но c = 0, то Д.-л. ф. сводится к целой линейной функции y = αx + β. Т. о., интерес представляет лишь случай, когда ad - bc ≠ 0 и c ≠ 0; графиком Д.-л. ф., когда x принимает действительные значения, является равнобочная гипербола.
Если x принимает произвольные комплексные значения (а, b, c и d - фиксированные комплексные числа), то Д.-л. ф. осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение комплексной плоскости (пополненной точкой ∞) на себя, называемое дробно-линейным отображением (это единственная аналитическая функция, обладающая указанным свойством). Д.-л. ф. характеризуется также тем, что она переводит прямые и окружности, лежащие в комплексной плоскости, снова в прямые и окружности. Всякое конформное отображение внутренности круга на себя осуществляется при помощи Д.-л. ф.
Двойное отношение четырёх точек

x4−x1 x4−x2

:

x3−x1 x3−x2

является инвариантом Д.-л. ф. Иными словами, если Д.-л. ф. переводит x₁ в y₁, x₂ в y₂, x₃ в y₃ и x₄ в y₄, то

y4−y1 y4−y2

:

y3−y1 y3−y2

=

x4−x1 x4−x2

:

x3−x1 x3−x2

.

Лит.: Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, 3 изд., М., 1966; Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967.
С. Б. Стечкин.

Дробная кристаллизация    Дробно-линейная функция    Дробное осаждение