Эйлера Формулы

Эйлера Формулы в Энциклопедическом словаре:
Эйлера Формулы - формулы, выражающие тригонометрические функциипеременного x через показательную функцию:Установлены Леонардом Эйлером.

Определение «Эйлера Формулы» по БСЭ:
Эйлера формулы - в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером.
1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):
e^ix = cos х + i sin x,

cos x =

eix + e−ix 2

,     sin x =

eix − e−ix 2i

.

2) Э. ф., дающая разложение функции sin x в бесконечное произведение (1740):

sin x x

=

∞ Π n=1

(

1 −

xІ nІπІ

)

.

3) Тождество Эйлера о простых числах:

∞ ∑ n=1

1 ns

=

Π p

1 1− 1/ps

,

где s = 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам p.
4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:
(aІ +bІ + cІ + dІ)(pІ + qІ + rІ + sІ = xІ+yІ+zІ+tІ ,
где

x = ap + bq + cr + ds ,

y = aq − bp ± cs ∓ dr ,

z = ar ∓ bs − cp ± dq ,

t = as ± br ∓ cq − dp .

5) формула Эйлера о кривизнах (1760):

1 R

=

cosІφ R1І

+

sinІφ R2І

.

Она даёт выражение кривизны 1/R любого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1/R₁ и 1/R₂ и угол φ между одним из главных направлений и данным направлением.
Эйлеру принадлежит также Эйлера-Маклорена формула суммирования, Эйлера-Фурье формулы для коэффициентов разложений функций в тригонометрические ряды.
Лит. см. при ст. Эйлер.

Эйлера Круги    Эйлера Формулы    Эйлеровы Углы