Эйлера уравнения

Определение «Эйлера уравнения» по БСЭ:
Эйлера уравнения - 1) в механике - динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.
Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

Ixω̇x + (Iz − Iy) ωyωz = Mx ,

Iyω̇y + (Ix − Iz) ωzωx = My ,    (1)

Izω̇z + (Iy − Ix) ωxωy = Mz ,

где I_x, I_y, I_z - моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, ω_х, ω_у, ω_z - проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M_x, M_y, M_z - гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; ω̇_x, ω̇_y,
ω̇_z - проекции углового ускорения.
Кинематические Э. у. дают выражения ω_х, ω_у, ω_z через Эйлеровы углы φ, ψ, θ и имеют вид

ωx= ψ ̇sin θ sinφ + θ ̇ cosφ ,

ωу= ψ ̇sin θ cosφ - θ ̇sinφ ,    (2)

ωz= φ̇ + ψ̇ cos θ .

Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.
2) В гидромеханике - дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление p, плотность ρ, проекции скоростей частиц жидкости u, v, ω и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат x, y, z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

∂u dt	+ u	∂u dx	+ v	∂u dy	+ w	∂u dz	= X −	1 ρ	∂p dx	,
∂v dt	+ u	∂v dx	+ v	∂v dy	+ w	∂v dz	= Y −	1 ρ	∂p dy	,
∂w dt	+ u	∂w dx	+ v	∂w dy	+ w	∂w dz	= Z −	1 ρ	∂p dz	.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, v, ω, p, ρ, как функции x, y, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

∂ρ dt

+

∂(ρu) dx

+

∂(ρv) dy

+

∂(ρw) dz

= 0 .

В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния ρ = φ (p) (или ρ - const, когда жидкость несжимаема).
Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.
Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.
С. М. Тарг.

Эйлера период    Эйлера уравнения    Эйлера функция