Линейная вектор-функция

Определение «Линейная вектор-функция» по БСЭ:
Линейная вектор-функция - функция ƒ(x) векторного переменного x, обладающая следующими свойствами: 1) ƒ(x + у) = ƒ(x) + ƒ(y), 2) ƒ(λ x) = λ ƒ(x)
(λ - число). Л. в.-ф. в n-мерном пространстве вполне определяется значениями, принимаемыми ею для n линейно независимых векторов. Скалярную (принимающую числовые значения) Л. в.-ф. называют также линейным функционалом; в n-mepном пространстве она выражается линейной формой, ƒ(x) = a1x1 + a2x2 +... + anxn от координат x1, x2,..., xn вектора x. Примером скалярной Л. в.-ф. является скалярное произведение вектора х и некоторого постоянного вектора а:
ƒ(x) = (а, х),
в пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая скалярная Л. в.-ф. имеет такой вид. Векторная (принимающая векторные значения) Л. в.-ф. определяет линейное или аффинное преобразование пространства и называется также линейным оператором, или аффинором. Векторная Л. в.-ф. у = ƒ(x) в n-мерном пространстве выражается в координатах формулами:
y1 = a11x1 + a12x2 +... + a1nxn,
y2 = a21x1 + a22x2 +... + a2nxn,
...
yn = an1x1 + an2x2 +... + annxn.
Здесь числа aij (i, j = 1, 2,..., n) составляют матрицу векторной Л. в.-ф. Если определить сумму векторных Л. в.-ф. ƒ(x) и g(x) как Л. в.-ф. ƒ(x) + g(x), а произведение тех же функций, как Л. в.-ф. g{f(x)}, то сумме и произведению векторных Л. в.-ф. будут соответствовать сумма и произведение соответствующих матриц. Примером векторной Л. в.-ф. является Л. в.-ф. вида:
ƒ(x) = (A1, х)a1 + (А2, х)a2 +... + (An, х)an,
где A1, A2, ..., An, a1, a2, ...an - постоянные векторы; в n-мерном пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая векторная Л. в.-ф. может быть представлена в таком виде.
Функцию нескольких векторных переменных, являющуюся Л. в.-ф. относительно каждого своего аргумента, называют полилинейной (билинейной, трилинейной и т. д.) вектор-функцией. Скалярное и векторное произведения двух переменных векторов могут служить примерами, соответственно скалярной и векторной билинейных вектор-функций. Полилинейные вектор-функции приводят к понятию Тензора. О Л. в.-ф. (линейных функционалах и операторах) в бесконечномерном пространстве см. Функциональный анализ.

Линевич    Линейная вектор-функция    Линейная подстановка