Тэта-функции
Определение слова «Тэта-функции» по БСЭ:
Тэта-функции - целые функции, отношения которых представляют Эллиптические функции. Основные четыре Т.-ф. определяются следующими быстро сходящимися рядами:
θ1(z) = 2q 1/4sin z - 2q 9/4 sin 3z + 2q 25/4 sin 5z +...,
θ 2(z) = 2q 1/4cos z + 2q 9/4 cos 3z + 2q 25/4 cos 5z +...,
θ 3(z) = 1 + 2q cos 2z + 2q 4 cos 4z + 2q 9 cos 6z +...,
θ 4(z) = 1 - 2q cos 2z + 2q 4 cos 4z - 2q 9 cos 6z +..., где |q| < 1. При добавлении π к аргументу z эти функции приобретают соответственно множители -1, -1, 1, 1, a при добавлении
πτ, где τ связано с q соотношением q = e πι τ, множители -N, N, N, -N (N = q−1e −2ιk). Отсюда следует, что, например, отношение ϑ1(z)/
ϑ4(z) представляет мероморфную функцию, не изменяющуюся при добавлении к аргументу 2π или πτ, то есть эллиптическую функцию с периодами 2π и πτ. Обобщением указанных Т.-ф., введённых К. Якоби (обозначения Якоби несколько иные), являются Т.-ф., построенные А. Пуанкаре для представления автоморфных функций.
Лит.: Уиттекер Э.-Т., Ватсон Дж.- Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.
Тэнгри-Нур
Тэта-функции
Тэхан
