Двучленное уравнение
Определение «Двучленное уравнение» по БСЭ:
Двучленное уравнение - уравнение вида xn - a = 0, в котором а - какое-либо действительное или комплексное число. К решению таких уравнений приводит задача об извлечении корня степени n из числа а (х = n √ а).
Д. у. имеет n различных корней, среди которых не больше двух действительных. Если а - положительное число, то один из этих корней - арифметический корень - положителен. При геометрическом представлении чисел на комплексной плоскости все корни Д. у. расположатся на окружности с центром в точке O и радиусом, равным арифметическому корню из модуля числа а (в вершинах правильного n-yгольника).
Большое значение имеют Д. у. специального вида xn - 1 = 0; корни таких уравнений называют корнями n-й степени из единицы и имеют вид:
εk
| = cos
| 2πk n
| + i sin
| 2πk n
| , | k = 0,1,... , n−1.
|
Произведение и
частное двух корней n-й степени из единицы будут
также корнями n-й степени из единицы.
Среди всех корней n-й степени из единицы существуют такие, что все
остальные представляются в виде их степеней; эти корни называют первообразными. Для того
чтобы корень
ε
k был первообразным, необходимо и достаточно, чтобы числа k и n были
взаимно простыми, т. е. чтобы их
наибольший общий делитель равнялся единице;
например, корень ε
1 всегда первообразный: ε
k =
ε
1k.Теория Д. у. позволила
найти условия разрешимости древней задачи о делении окружности на равные части при помощи циркуля и линейки (см.
Деление круга).
Лит.:
Окунев Л. Я., Высшая
алгебра, 2 изд., М., 1966;
Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.
Двухъярусный плуг
Двучленное уравнение
ДДД