Функции множества

Определение «Функции множества» по БСЭ:
Функции множества - функции, сопоставляющие каждому множеству из некоторого класса множеств определённое число. Например, длина отрезка является Ф. м., определённой на классе всех отрезков на прямой (функцией отрезка).
Интеграл 28/2801268.tif при заданной интегрируемой функции φ(x) также является функцией отрезка - интервала интегрирования [α, β]. Рассматривают также функции от областей на плоскости или в пространстве. Например, при заданном распределении плотностей масса, заключённая в данной области
Ω, является функцией этой области. Понятие функции области - более гибкий аппарат для описания физических явлений, чем понятие функции точки, т.к. позволяет учитывать случаи, когда плотность физических величин в отдельных точках бесконечна (точечные источники и т.д.). Кроме того, это понятие более отвечает условиям физического эксперимента (при котором наблюдается не функция точки, а среднее от этой функции по некоторой малой области).
Понятие Ф. м. получило развитие в связи с построением теории интеграла Лебега, в которой приходится рассматривать не только функции от областей, но и функции от произвольных измеримых множеств. Одним из первых примеров такой Ф. м. является мера Лебега μ(Е) измеримого множества Е (см. Мера множества).
Эта Ф. м. вполне аддитивна, т. е. мера суммы любой конечной или счётной совокупности непересекающихся измеримых множеств есть сумма мер этих множеств. Наряду с лебеговской мерой множеств рассматривают др. меры, являющиеся неотрицательными вполне аддитивными Ф. м., определёнными на соответствующем классе множеств. Такие Ф. м. встречаются в общей теории интеграла. Ф. м. ƒ(E) называют абсолютно непрерывной относительно некоторой меры μ, если ƒ(E) = 0 при μ(Е) = 0.
Так, интеграл Лебега 28/2801269.tif заданной суммируемой функции φ(x) по множеству М является вполне аддитивной абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) функцией от М. Обратно, всякая вполне аддитивная абсолютно непрерывная Ф. м. может быть представлена в качестве интеграла Лебега от некоторой суммируемой функции
φ(x). Важным примером Ф. м. являются Распределения вероятностей.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953

Функия    Функции множества    Функции специальные