Исчерпывания Метод
Исчерпывания Метод в Энциклопедическом словаре:
Исчерпывания Метод - метод доказательства, применявшийся математикамидревности при нахождении площадей и объемов.
Определение «Исчерпывания Метод» по БСЭ:
Исчерпывания метод - метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в.
Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины A строится некоторая последовательность величин C1, C2, ..., Cn, ... так, что
Cn < A; (1)
предполагают также известным такое В, что
Cn < В (2)
и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства
К (A - Cn) < D, К (В - Cn) < D, (3)
где D - постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству
A = B (4)
достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует
lim n→∞
| (A−Cn) = 0,
| lim n→∞
| (B−Cn) = 0,
| A = | lim n→∞
| Cn | = B.
|
Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к
доказательству от противного и доказывали
невозможность каждого из неравенств A < В, В < A.
Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса - Архимеда (см. Архимеда
аксиома) устанавливали, что для R = B - А существует такое К, что KR > D и в силу
условия (1) получали
К (В - C
n) > К (В - A) > D,
что противоречит второму из неравенств (3).
Аналогично опровергалось
другое предположение. После этого оставалось
принять только равенство (4).
Введение И. м.
вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом
широко пользовался
Евклид, а с особенным искусством и разнообразием -
Архимед. Например, для определения площади сегмента A параболы Архимед строит площади C
1, C
2, ...,
«исчерпывающие» при их постепенном
нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом
Cn = C1 +
| 1
4 | C1 + ... +
| 1
4n−1 | C1
|
Вместо того
чтобы прибегнуть к предельному переходу,
| (1 +
| 1
4 | +
| 1
16 | + ...
| )
| | 4
3
|
A = | lim | Cn = | C1 =
| C1.
|
| n→∞
|
Архимед геометрически доказывает, что при любом n
Вводя площадь
Архимед получает, что
и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что
Рис. к ст. Исчерпывания метод.
Исчерпывание
Исчерпывания Метод
Исчерпывать