Квантор

Определение слова «Квантор» по БСЭ:
Квантор (от лат. quantum - сколько)
логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов,
к которой относится выражение, получаемое в результате её применения.
В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа «все»,
«каждый», «некоторый», «существует»,
«имеется», «любой», «всякий»,
«единственный», «несколько», «бесконечно много»,
«конечное число», а также все количественные числительные.
В формализованных языках,
составной частью которых является Исчисление предикатов,
для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным К. двух видов:

К. (все)общности (оборот «для всех х», обозначается через

∀x , (;x) , (x) , (Ax) , ∩
x , Λ
x , Π
x

и К. существования («для некоторых х», обозначения:

∃x , (;x) , (Ex) , U
x , V
x , Σ
x

С помощью К. можно записать четыре основных формы суждений традиционной логики: «все А суть В»
записывается в виде x [A(x)B(x)],
«ни одно A не есть B» -
в виде x [A(x)¬B(x)], «некоторые А суть B» - в виде x [A(x)&B(x)],
«некоторые А не суть В» -
в виде x [A(x) & ¬B(x)]
(здесь А(x) означает, что х обладает свойством A,
- знак импликации,
¬ - отрицания,
& - конъюнкции).
Часть формулы, на которую распространяется действие каких-либо К., называется областью действия этого К. (её можно указать с помощью скобок). Вхождение какой-либо переменной в формулу непосредственно после знака К. или в область действия К.,
после которого стоит эта переменная, называется её связанным вхождением.
Все остальные вхождения переменных называются свободными.
Формула, содержащая свободные вхождения переменных, зависит от них (является их функцией);
связанные же вхождения переменных можно
«переименовывать»; например, записи x (x = 2y) и z (z = 2y) означают одно и то же, чего нельзя сказать о x (x = 2y) и x (x = 2t). Применение К. уменьшает число свободных переменных в логическом выражении и превращает (если К. не «фиктивный», т. е. относится к переменной, действительно входящей в формулу)
трёхместный предикат в двухместный, двухместный - в одноместный, одноместный - в высказывание. Употребление К. кодифицируется специальными «постулатами квантификации» (присоединение которых к исчислению высказываний по существу и означает расширение его до исчисления предикатов), например, следующими «постулатами Бернайса»:
аксиомами A (t)
xA(x) и xA(x) A (t) и правилами вывода «если доказано С А(x) С, то можно считать доказанным и С
хA(x)» и «если доказано А(x) С, то можно считать доказанным и хA(x) C» (здесь х не входит свободно в С).
К К. общности и существования сводятся и др. виды К., например вместо так называемого К. единственности ! x («существует единственный х такой, что») можно писать «обычные» К., заменяя
! xA(x) на
xA(x) &yz [A (y)&A (z) y = z].
Аналогично, К., «ограниченный» каким-либо одноместным предикатом P(x)(x_P(x), читается как «существует x, удовлетворяющий свойству Р и такой, что», а
x_p _(x) - «для всех х, удовлетворяющих свойству Р, верно, что»), легко выразить через К. общности и существования и операторы импликации и конъюнкции:
x_p(x) A(x) ≡ x [P(x)&A(x)] и
x_p(x) A(x) ≡ x [P(x)A(x)].
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72-80, 130-138; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42-48.
Ю.А. Гастев.

Квантовая эволюция Квантор Квара