Матричные игры
Определение «Матричные игры» по БСЭ:
Матричные игры - понятие игр теории. М. и. - игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II - n стратегий, то игра может быть задана (m Ч n)
-maтрицей A = ||aij||, где aij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i (i = -1, ..., m), а игрок II - стратегию j (j = 1, ..., n). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (частным случаем которых являются М. и.), игрок I стремится выбрать такую стратегию i₀, на которой достигается
игрок II стремится выбрать стратегию j
₀, на которой достигается
Если v
1 = v
2, то пара (i
₀, j
₀) составляет седловую точку игры, то есть выполняется двойное неравенство
a
ij₀ ≤ a
i₀j₀ ≤ a
i₀j; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.
Число
a
i₀j₀ называется значением игры; стратегии i
₀, j
₀ называются оптимальным и чистыми стратегиями игроков I и II
соответственно. Если v
1 ≠ v
2, то всегда
v
1 < v
2; в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует
искать среди их смешанных стратегий (то есть вероятностных
распределений на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с математическими ожиданиями выигрышей.
Основная
теорема теории М. и. (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что в
любой М. и. существуют оптимальные смешанные стратегии х*, у*, на которых достигаемые «минимаксы» равны
(общее их
значение есть значение игры).
Например, игра с матрицей
имеет седловую точку при i
₀ = 2, j
₀ = 1, а значение игры
равно 2; игра с матрицей
не имеет седловой точки. Для неё оптимальные смешанные стратегии суть х* = (і/
4, ј), y* = (Ѕ, Ѕ); значение игры равно Ѕ.
Для фактического
нахождения оптимальных смешанных стратегий чаще
всего используют
возможность сведения М. и. к задачам линейного
программирования. Можно использовать так
называемый итеративный метод Брауна -
Робинсон, состоящий в последовательном фиктивном
«разыгрывании» данной игры с выбором игроками в каждой данной партии своих чистых стратегий, наилучших
против накопленных к этому моменту стратегий оппонента. Игры, в которых один из игроков имеет
только две стратегии,
просто решить графически.
М. и. могут
служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области
экономики, математической
статистики, военного дела, биологии.
Нередко в качестве одного из игроков рассматривают «природу», под которой понимается вся
совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему
решения лицу (другому игроку).
Лит.: Матричные игры. [Сборник переводов], под редакцией Н. Н.
Воробьева, М., 1961;
Нейман Дж. фон,
Моргенштерн О.,
Теория игр и экономическое поведение,
перевод с английского, М., 1970; Оуэн Г., Теория игр, перевод с английского, М., 1971.
А. А.
Корбут.
Матрица рассеяния
Матричные игры
Матросова тормоз