Трансцендентное Число
Трансцендентное Число в Энциклопедическом словаре:
Трансцендентное Число - число, не удовлетворяющее никакому алгебраическомууравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентными числами являются:число ??3,14159...; десятичный логарифм любого целого числа, неизображаемого единицей с нулями; число е=2,71828... и др.
Определение «Трансцендентное Число» по БСЭ:
Трансцендентное число - число (действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.
Таким образом, Т. ч. противопоставляются алгебраическим числам. Существование Т. ч. впервые установил Ж. Лиувилль (1844). Отправной точкой для Лиувилля служила его теорема, согласно которой порядок приближения рациональной дроби с данным знаменателем к данному иррациональному алгебраическому числу не может быть произвольно высоким. Именно, если алгебраическое число α удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению степени n с целыми коэффициентами, то для любого рационального числа
p ⁄ q должно выполняться неравенство
(c зависит
только от α).
Поэтому, если для заданного иррационального
числа α
можно указать бесконечное множество рациональных приближений, не удовлетворяющих приведённому
неравенству ни при каких c и n (одних и тех же для всех приближений), то α есть Т. ч.
Пример
такого числа даёт:
26/2601315.tif
...
Другое
доказательство существования Т. ч. дал Г.
Кантор (1874), заметив, что множество всех алгебраических чисел счётно (то есть все
алгебраические числа могут быть перенумерованы; см. Множеств
теория), тогда как множество всех действительных чисел
несчётно. Отсюда следовало, что множество Т. ч. несчётно, и
далее, что Т. ч. составляют
основную массу
среди множества всех чисел.
Важнейшая
задача теории Т. ч. - это
выяснение того, являются ли Т. ч.
значения аналитических функций, обладающих теми или иными арифметическими и аналитическими свойствами при алгебраических значениях аргумента. Задачи этого рода принадлежат к числу труднейших задач
современной математики. В 1873 Ш.
Эрмит доказал, что Неперово число 26/2601316.tif является трансцендентным.
В 1882 немецкий математик Ф.
Линдеман получил
более общий результат: если α - алгебраическое число, то e
α - Т. ч.
Результат Липдемана был
значительно обобщён немецким математиком К. Зигелем (1930), доказавшим,
например, трансцендентность значения широкого класса цилиндрических функций при алгебраических значениях аргумента. В 1900 на математическом
конгрессе в Париже Д.
Гильберт среди 23 нерешенных проблем математики указал на следующую: является ли трансцендентным числом
α
β, где α и β - алгебраические числа,
причём β -
иррациональное число, и, в
частности, является ли трансцендентным число 2
√2, e
π (проблема трансцендентности чисел вида α
β была впервые в частной форме поставлена Л. Эйлером, 1744).
Полное
решение этой проблемы (в утвердительном смысле) удалось
получить лишь в 1934 А. О.
Гельфонду. Из
открытия Гельфонда, в частности, следует, что все десятичные логарифмы натуральных чисел (то есть «табличные логарифмы») суть Т. ч. Методы теории Т. ч. прилагаются к ряду вопросов
решения уравнений в целых числах.
Лит.: Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
Трансцендентная Функция
Трансцендентное Число
Трансцендентность