Трансцендентное Число

Трансцендентное Число в Энциклопедическом словаре:
Трансцендентное Число - число, не удовлетворяющее никакому алгебраическомууравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентными числами являются:число ??3,14159...; десятичный логарифм любого целого числа, неизображаемого единицей с нулями; число е=2,71828... и др.

Определение «Трансцендентное Число» по БСЭ:
Трансцендентное число - число (действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.
Таким образом, Т. ч. противопоставляются алгебраическим числам. Существование Т. ч. впервые установил Ж. Лиувилль (1844). Отправной точкой для Лиувилля служила его теорема, согласно которой порядок приближения рациональной дроби с данным знаменателем к данному иррациональному алгебраическому числу не может быть произвольно высоким. Именно, если алгебраическое число α удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению степени n с целыми коэффициентами, то для любого рационального числа
p ⁄ q должно выполняться неравенство

|α −p

q
|>c

qn

(c зависит только от α). Поэтому, если для заданного иррационального числа α можно указать бесконечное множество рациональных приближений, не удовлетворяющих приведённому неравенству ни при каких c и n (одних и тех же для всех приближений), то α есть Т. ч.
Пример такого числа даёт:
26/2601315.tif
...
Другое доказательство существования Т. ч. дал Г. Кантор (1874), заметив, что множество всех алгебраических чисел счётно (то есть все алгебраические числа могут быть перенумерованы; см. Множеств теория), тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Отсюда следовало, что множество Т. ч. несчётно, и далее, что Т. ч. составляют основную массу среди множества всех чисел.
Важнейшая задача теории Т. ч. - это выяснение того, являются ли Т. ч. значения аналитических функций, обладающих теми или иными арифметическими и аналитическими свойствами при алгебраических значениях аргумента. Задачи этого рода принадлежат к числу труднейших задач современной математики. В 1873 Ш. Эрмит доказал, что Неперово число 26/2601316.tif является трансцендентным.
В 1882 немецкий математик Ф. Линдеман получил более общий результат: если α - алгебраическое число, то e α - Т. ч. Результат Липдемана был значительно обобщён немецким математиком К. Зигелем (1930), доказавшим, например, трансцендентность значения широкого класса цилиндрических функций при алгебраических значениях аргумента. В 1900 на математическом конгрессе в Париже Д. Гильберт среди 23 нерешенных проблем математики указал на следующую: является ли трансцендентным числом
αβ, где α и β - алгебраические числа, причём β - иррациональное число, и, в частности, является ли трансцендентным число 2√2, eπ (проблема трансцендентности чисел вида αβ была впервые в частной форме поставлена Л. Эйлером, 1744).
Полное решение этой проблемы (в утвердительном смысле) удалось получить лишь в 1934 А. О. Гельфонду. Из открытия Гельфонда, в частности, следует, что все десятичные логарифмы натуральных чисел (то есть «табличные логарифмы») суть Т. ч. Методы теории Т. ч. прилагаются к ряду вопросов решения уравнений в целых числах.
Лит.: Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

Трансцендентная Функция    Трансцендентное Число    Трансцендентность