Умножение

Значение слова Умножение по Ефремовой:
Умножение - 1. Процесс действия по знач. глаг.: умножать (1), умножить.
2. Состояние по знач. глаг.: умножаться (1), умножиться.
3. Арифметическое действие, повторение определенного числа в качестве слагаемого столько раз, сколько единиц содержится в другом числе.

Умножение в Энциклопедическом словаре:
Умножение - арифметическое действие. Обозначается точкой ''.'' или знаком''?'' (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целыхположительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двумчислам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение),равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называютсятакже сомножителями. Умножение дробных чисел а/b и с/d определяетсяравенством Умножение двух рациональных чисел дает число, абс. величинакоторого равна произведению абсолютных величин сомножителей и котороеимеет знак плюс (+), если у обоих сомножителей одинаковые знаки, или минус(-), если у них различные знаки. Умножение иррациональных чиселопределяется при помощи их рациональных приближений. Умножение комплексныхчисел, данных в форме ? = а+bi и ? = с+di, определяется равенством ?? = ас - bd + (a + bc)i.

Значение слова Умножение по словарю Ушакова:
УМНОЖЕНИЕ
умножения, м.н. нет, ср. 1. действие по глаг. умножить - умножать и состояние по глаг. умножиться - умножаться. Умножение трех на два. Умножение доходов. 2. Арифметическое действие, повторение данного числа в качестве слагаемого столько раз, сколько единиц находится в другом данном числе (мат.). Таблица умножения. Умножение целых чисел.

Значение слова Умножение по словарю Брокгауза и Ефрона:
Умножение — есть арифметическое действие, посредством которого по данным двум числам, множимому и множителю, находят произведение. Если число а есть множимое, а b множитель, то произведение обозначается таким образом: a·b или просто ab. Произведение определяется различно, смотря по множителю. Если b = 1, то a·1 = a. Если b равно целому положительному числу, большему единицы, то ab есть сумма b слагаемых, из которых каждое равно а. Если b = m/n, где m и n целые положительные числа, то аb = am/n. Если b иррациональное число, определяемое рядом b = b₀ + b₁/10 + b₂/10 +... то аb = аb₀ + ab₁/10 + ab₂/10 + ... Если b отрицательное: b = — b₁, то ab = — ab₁. Если a = α + β i и b = γ + δ i, то ab = αγ — βδ + i(αδ + βγ). Здесь i мнимая величина (см.), квадрат которой равен (— 1). Свойства произведения выражаются следующими формулами: ab = ba, (ab)с = а(bc), (а + b)с = ас + bс. Произведение нескольких чисел, напр. a₁, a₂, a₃ и а₄, определяется следующим образом. Если a₁·a₂ = b₁, b₁·a₃ = b₂, b₂·a₄ = b₃ то b₃ наз. произведением чисел a₁, a₂, a₃ и а₄. Этот результат обозначают так: а₁а₂а₃a₄ = b₃. От перестановки сомножителей произведение не меняется. Д. С.

Определение слова «Умножение» по БСЭ:
Умножение - операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. У. обозначается знаком Х (ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или · (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а
Ч b или а · b пишут ab. У. имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число c, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab = а + а +... + а (b слагаемых). Число а называется множимым, b - множителем. У. дробных чисел ^m ⁄ _n и ^p ⁄ _q определяется равенством ^m ⁄ _n · ^p ⁄ _q = ^m·p ⁄ _n·q (см. Дробь). У. рациональных чисел даёт число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (-), если они разного знака. У. иррациональных чисел определяется при помощи У. их рациональных приближений.
У. комплексных чисел, заданных в форме α = а + bi и β = с + di, определяется равенством αβ = ac - bd + (ad + bc) i. При У. комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
α = r₁ (cosφ₁ + isin φ₁),
β = r₂ (cosφ₂ + isin φ₂),
их модули перемножаются, а аргументы складываются:
αβ = r₁r₂{cos (φ₁ + φ₂) + i sin ((φ₁ + φ₂)}.
У. чисел однозначно и обладает следующими свойствами:
1) ab = ba (коммутативность, переместительный закон);
2) a (bc) = (ab) c (ассоциативность, сочетательный закон);
3) a (b + c) = ab + ac (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а ·0 = 0; a·1 = а. Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.
Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r (cosφ + i sin φ) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол
φ вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего - свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.

Умножаться    Умножение    Умножитель Частоты