Сопряжённые дифференциальные уравнения

Определение «Сопряжённые дифференциальные уравнения» по БСЭ:
Сопряжённые дифференциальные уравнения - понятие теории дифференциальных уравнений. Уравнением, сопряжённым с дифференциальным уравнением

L(y) = n ∑ k=0 ak(x) dn−ky dxn−k = 0 ,

(1)

называется уравнение

M(z) = n ∑ k=0 (−1)n−k dn−k(akz) dxn−k = 0 .

(2)

Соотношение сопряжённости взаимно. Для С. д. у. имеет место тождество

zL(y)−yM(z) =

d — dx

[ψ(y,z)]

,

где ψ(y, z) - билинейная форма относительно y, z и их производных до (n − 1)-го порядка включительно. Знание k интегралов сопряжённого уравнения позволяет понизить на k единиц порядок данного уравнения. Если
y₁, y₂,... y_n    (3)
- фундаментальная система решений уравнения (1), то фундаментальная система решений уравнения (2) даётся формулами

zi =

1 a0

∂ ln |Δ| ∂yi(n−1)

(i = 1, 2, ..., n),

где Δ - определитель Вроньского (см. Вронскиан) системы (3). Если для уравнения (1) заданы краевые условия, то существуют сопряжённые с ними краевые условия для уравнения (2) такие, что уравнения (1) и (2) с соответствующими краевыми условиями определяют сопряжённые дифференциальные операторы (см. Сопряжённые операторы). Понятие сопряженности обобщается также на системы дифференциальных уравнений и на уравнения с частными производными.

Сопряжённые диаметры    Сопряжённые дифференциальные уравнения    Сопряжённые реакции