Логические операции

Определение «Логические операции» по БСЭ:
Логические операции - логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две основные группы: Кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. н.
«количественные» («кванторные») слова: «все», «любой», «некоторый», «существует», «единственный», «не более (менее) чем», количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является - в случае нефиктивного их применения - понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n - 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.
Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение которых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики - в логике высказываний. В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание
¬ истолковывается как частица «не», конъюнкция & истолковывается как союз «и», дизъюнкция ∨ - как (неразделительное) «или», импликация - как оборот «если..., то...», эквиваленция ∼ - как оборот
«тогда и только тогда, когда» и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два «истинностных значения»:
«истину» («и») и «ложь» («л»), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя; поэтому число различных n-местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений - оно равно 2ⁿ. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги которых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, например,
«штрих Шеффера» | в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех 2^2² = 16 двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены истинностные значения некоторых «исходных» высказываний р и q, в остальных - значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Л. о.).

Тождественная истина
↑ Тождественная ложь
↑ p Отрицание p
↑ q Отрицание q
↑ Конъюнкция
↑ Антиконъюнкция (штрих Шеффера)
↑ Дизъюнкция
↑ Антидизъюнкция
p q и л p ¬p q ¬q p&q p|q
p∨q p∨Їq p∼q p∼Їq
p⊃q p⊅q p⊂q p⊄q
и и и л и л и л и л и л и л и л и л
и л и л и л л и л и и л л и л и и л
л и и л л и и л л и и л л и и л л и
л л и л л и л и л и л и и л и л и л
Эквиваленция ↓
↓
↓
↓
↓
Антиэквиваленция
Импликация
Антиимпликация
Обратная импликация
Обратная антиимпликация

Поскольку в таблице сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным «четырехбуквенным словам» из «и» и «л», записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 16 Л. о. есть и
«вырожденные» случаи: первые две «связки» вообще не зависят ни от каких «аргументов» - это константы «и» и «л» (понятно, что таких «нульместных» связок имеется ровно 2^2⁰ = 2, далее идут 2^2¹ = 4
«одноместных связок» (каждая из которых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16−2−4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать 2^2³ = 256 трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их суперпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого натурального n. Такими функционально полными наборами связок являются, например,
¬ и &, ¬ и ∨, ¬ и ⊃ и даже одна-единственная связка |. Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов, для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.
Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 05, 06 и 15.
Ю. А. Гастев.

Логические диаграммы Логические операции Логического анализа философия