Статистическое моделирование

Определение «Статистическое моделирование» по БСЭ:
Статистическое моделирование - численный метод решения математических задач, при котором искомые величины представляют вероятностными характеристиками какого-либо случайного явления, это явление моделируется, после чего нужные характеристики приближённо определяют путём статистической обработки
«наблюдений» модели. Например, требуется рассчитать потоки тепла в нагреваемой тонкой металлической пластине, на краях которой поддерживается нулевая температура. Распределение тепла описывается тем же уравнением, что и расплывание пятна краски в слое жидкости (см. Теплопроводность, Диффузия). Поэтому моделируют плоское Броуновское движение частиц
«краски» по пластине, следя за их положениями в моменты kτ, k = 0, 1, 2,... Приближённо принимают, что за малый интервал τ частица перемещается на шаг h равновероятно во всех направлениях. Каждый раз направление выбирается случайным образом, независимо от всего предыдущего. Соотношение между
τ и h определяется коэффициентом теплопроводности. Движение начинается в источнике тепла и кончается при первом достижении края (наблюдается налипание «краски» на край). Поток Q (C) тепла через участок С границы измеряется количеством налипшей краски. При общем количестве N частиц согласно Больших чисел закону такая оценка даёт случайную относительную ошибку порядка
1√N (и систематическую ошибку порядка h из-за дискретности выбранной модели).
Искомую величину представляют математическим ожиданием числовой функции ƒ от случайного исхода ω явления:
Eƒ(ω) = ∫ƒ(ω)dP, т. е.
интегралом по вероятностной мере P (см. Мера множества). На оценку Eƒ(ω) = [ƒ(ω1) + ... + ƒ(ωN)] ⁄ N, где ω1,..., ωN -смоделированные исходы, можно смотреть как на квадратурную формулу для указанного интеграла со случайными узлами ωk и случайной погрешностью RN обычно принимают
|RN| ≤ 3√(N),
считая большую погрешность пренебрежимо маловероятной; дисперсия Dƒ может быть оценена в ходе наблюдений (см. Ошибок теория).
В разобранном выше примере ƒ(ω) = 1, когда траектория кончается на C; иначе ƒ(ω) = 0.
Дисперсия Dƒ = [1 − Q(C)]Q(C) ≤ ј.
Интеграл берётся по пространству ломаных со звеньями постоянной длины; он может быть выражен через кратные интегралы.
Проведение каждого «эксперимента» распадается на две части: «розыгрыш» случайного исхода ω и последующее вычисление функции ƒ (ω). Когда пространство всех исходов и вероятностная мера Р слишком сложны, розыгрыш проводится последовательно в несколько этапов (см. пример). Случайный выбор на каждом этапе проводится с помощью случайных чисел, например генерируемых каким-либо физическим датчиком; употребительна также их арифметическая имитация - псевдослучайные числа (см. Случайные и псевдослучайные числа). Аналогичные процедуры случайного выбора используются в математической статистике и теории игр.
С. м. широко применяется для решения на ЭВМ интегральных уравнений, например при исследовании больших систем. Они удобны своей универсальностью, как правило, не требуют большого объёма памяти. Недостаток - большие случайные погрешности, слишком медленно убывающие при увеличении числа экспериментов. Поэтому разработаны приёмы преобразования моделей, позволяющие понижать разброс наблюдаемых величин и объём модельного эксперимента.
Лит.: Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло), М., 1962; Ермаков С. М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М., 1971.
Н. Н. Ченцов.

Статистических решений теория    Статистическое моделирование    Статистическое оценивание