Кратный Интеграл

Кратный Интеграл в Энциклопедическом словаре:
Кратный Интеграл - интеграл от функции нескольких переменных. Определяетсяпри помощи интегральных сумм, аналогично определенному интегралу отфункции одного переменного (см. Интегральное исчисление). В зависимости отчисла переменных различают двойные, тройные, n-кратные интегралы.

Определение «Кратный Интеграл» по БСЭ:
Кратный интеграл - интеграл от функции, заданной в какой-либо области на плоскости, в трёхмерном или n-мерном пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n-кратные интегралы.
Пусть функция ƒ(x, y) задана в некоторой области D плоскости xOy. Разобьем область D на n частичных областей d_i, площади которых равны s_i, выберем в каждой области d_i точку
(ξ_i,η_i) (см. рис.) и составим интегральную сумму
S = Σ_i=1ⁿƒ(ξ_i,η_i)s_i.
Если при неограниченном уменьшении максимального диаметра частичных областей d_i суммы S имеют предел независимо от выбора точек (ξ_i, η_i), то этот предел называют двойным интегралом от функции ƒ(x, y) по области D и обозначают
∫∫_Dƒ(x,y) ds .
Аналогично определяется тройной интеграл и вообще n-кратный интеграл.
Для существования двойного интеграла достаточно, например, чтобы область D была замкнутой квадрируемой областью, а функция ƒ(x,y) была непрерывна в D. К. и. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам простых Интегралов. Для вычисления К. и. обычно приводят его к повторному интегралу. В специальных случаях для сведения К. и. к интегралам меньшей размерности могут служить Грина формулы и Остроградского формула. К. и. имеют обширные применения: с их помощью выражаются объёмы тел, их массы, статические моменты, моменты инерции и т. п.
Лит. см. при статьях Интегральное исчисление, Интеграл.
Рис. к ст. Кратный интеграл.

Кратный    Кратный Интеграл    Кратный Корень