Непараметрические методы

Определение «Непараметрические методы» по БСЭ:
Непараметрические методы - в математической статистике, методы непосредственной оценки теоретического распределения вероятностей и тех или иных его общих свойств (симметрии и т.п.) по результатам наблюдений. Название Н. м. подчёркивает их отличие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретическое распределение принадлежит какому-либо семейству, зависящему от конечного числа параметров (например, семейству нормальных распределений), и которые позволяют по результатам наблюдений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те или иные гипотезы относительно их значений. Разработка Н. м. является в значительной степени заслугой советских учёных.
В качестве примера Н. м. можно привести найденный А. Н. Колмогоровым способ проверки согласованности теоретических и эмпирических распределений (так называемый критерий Колмогорова). Пусть результаты n независимых наблюдений некоторой величины имеют функцию распределения F (x) и пусть F_n (x) обозначает эмпирическую функцию распределения (см. Вариационный ряд), построенную по этим n наблюдениям, a D_n - наибольшее по абсолютной величине значение разности F_n(x)−F(x). Случайная величина
√n D_n
имеет в случае непрерывности F(x) функцию распределения K_n(λ), не зависящую от F(x) и стремящуюся при безграничном возрастании n к пределу

K)λ)  =

∞ ∑ j=−∞

(−1)je−jІλІ.

Отсюда при достаточно больших n, для вероятности p_n,λ неравенства
√n D_n ≥ λ
получается приближённое выражение
p_n,λ ≈ 1 − К (λ).     (*)
Функция K(λ) табулирована. Её значения для некоторых λ приведены в табл.

Таблица функции K(λ)

λ	0,57	0,71	0,83	1,02	1,36	1,63
K(λ)	0,10	0,30	0,50	0,75	0,95	0,99

Равенство (*) следующим образом используется для проверки гипотезы о том, что наблюдаемая случайная величина имеет функцию распределения F(x): сначала по результатам наблюдений находят значение величины D_n, а затем по формуле (*) вычисляют вероятность получения отклонения F_n от F, большего или равного наблюдённому. Если указанная вероятность достаточно мала, то в соответствии с общими принципами проверки статистических гипотез (см. Статистическая проверка гипотез) проверяемую гипотезу отвергают. В противном случае считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипотезе. Аналогично проверяется гипотеза о том, получены ли две независимые выборки, объёма n₁ и n₂ соответственно, из одной и той же генеральной совокупности с непрерывным законом распределения. При этом вместо формулы (*) пользуются тем, что вероятность неравенства

Dn1,n2

√

n1n2 n1+n2

<   λ  ,

как это было установлено Н. В. Смирновым, имеет пределом K (λ), здесь D_n1, _n2 есть наибольшее по абсолютной величине значение разности F_n1(x)−F_n2(х).
Другим примером Н. м. могут служить методы проверки гипотезы о том, что теоретическое распределение принадлежит к семейству нормальных распределений. Отметим здесь лишь один из этих методов - так называемый метод выпрямленной диаграммы. Этот метод основывается на следующем замечании. Если случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами α и σ, то

Φ−1[F(x)] =

x−α σ

,

где Φ⁻¹ - функция, обратная нормальной:

Φ(x)  =

1 √(2π)

x ∫ −∞

e−uІ/2 du .

Т. о., график функции y = Φ⁻¹[F(x)] будет в этом случае прямой линией, а график функции y = Φ⁻¹[F_n(x)] - ломаной линией, близкой к этой прямой (см. рис.). Степень близости и служит критерием для проверки гипотезы нормальности распределения F (x).
Лит.: Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1968.
Ю. В. Прохоров.
Рис. к ст. Непараметрические методы.

Неоэндемики    Непараметрические методы    Непарнопалые