Равномерная сходимость

Определение «Равномерная сходимость» по БСЭ:
Равномерная сходимость - важный частный случай сходимости. Последовательность функций ƒ_n (x) (n = 1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции ƒ(x), если для каждого
ε > 0 существует такое N = N (ε), что |ƒ(x) − ƒ_n(x)| < ε при n > N для всех точек x из данного множества. Например, последовательность функций f_n(x) = xⁿ равномерно сходится на отрезке [0, Ѕ] к предельной функции ƒ(x) = 0, так как |ƒ(x) - ƒ_n(x)| ≤ (Ѕ) ⁿ < ε для всех 0 ≤ x ≤ Ѕ, если только n > ln (¹/_ε)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является ƒ(x) = 0 при 0
≤ x < 1 и ƒ (1) = 1, т.к. для любого сколько угодно большого заданного n существуют точки η, удовлетворяющие неравенствам
ⁿ√(1/2) < η < 1, для которых |ƒ(η) − ƒ_n(η)| = ηⁿ > ¹/₂. Понятие Р. с. допускает простую геометрическую интерпретацию: если последовательность функций ƒ_n(x) равномерно сходится на некотором отрезке к функции ƒ(x), то это означает, что для любого
ε > 0 все кривые y = ƒ_n(x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2ε, ограниченной кривыми y = ƒ(x) ± ε для любого x из этого отрезка (см. рис.).
Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; например, предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, которая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математическом анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрических полиномов). См. также Приближение и интерполирование функций.
Рис. к ст. Равномерная сходимость.

Равномерная непрерывность    Равномерная сходимость    Равномерно-распределённая нагрузка