Сферическая Тригонометрия

Сферическая Тригонометрия в Энциклопедическом словаре:
Сферическая Тригонометрия - область математики, в которой изучаютсязависимости между сторонами и углами сферических треугольников (т. е.треугольников на поверхности сферы), образующихся при пересечении трехбольших кругов. Сферическая тригонометрия тесно связана со сферическойастрономией.

Определение «Сферическая Тригонометрия» по БСЭ:
Сферическая тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия). Пусть A, B, C - углы и a, b, c - противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами С. т.:

sin a  sin A  =   sin b  sin B  =   sin c  sin C ,	(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a,	(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,	(3)
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a;	(31)

в этих формулах стороны a, b, c измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R - радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки:
A → B → C → A (a → b → c → a), можно написать другие формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).
Для прямоугольных сферических треугольников (A = 90°, a - гипотенуза, b, c - катеты) формулы С. т. упрощаются, например:

sin b = sin a sin В,	(1′)
cos a = cos b cos c,	(2′)
sin a cos B = cos b sin c.	(3′)

Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол A) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, a, C, 90° - b, 90° - c), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,
cos a = sin (90° - с) sin (90° - b)
или, после преобразования,
cos а = cos b cos с (формула 2′).
При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:
sin ¹⁄₂a cos ¹⁄₂(B−C) = sin ¹⁄₂A sin ¹⁄₂(b+c)

sin ¹⁄₂a sin ¹⁄₂(B−C) = cos ¹⁄₂A sin ¹⁄₂(b−c)

cos ¹⁄₂a cos ¹⁄₂(B+C) = sin ¹⁄₂A cos ¹⁄₂(b+c)

cos ¹⁄₂a sin ¹⁄₂(B+C) = cos ¹⁄₂A cos ¹⁄₂(b−c)
При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:

A ≈  a sin b  sin c ,	(1″)
a cos B ≈ c−b	(3″)

или более точные формулы:

A ≈  a sin b  sin c +  aІ  2  sin2B cos c  sinІc ,	(1′″)
a cos B ≈ c−b +  aІ  2  sinІ B  tg c .	(3′″)

С. т. возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1)-(3), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (2₁)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (3₁)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 - начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 - начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 - начало 19 вв.) и др.
Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.
Рис. к ст. Сферическая тригонометрия.

Сферическая Геометрия    Сферическая Тригонометрия    Сферические Координаты