Пи
Значение слова Пи по Ефремовой:
Пи - Название буквы греческого алфавита.
Отношения длины окружности к ее диаметру (в математике).
Пи в Энциклопедическом словаре:
Пи - греческая буква ?, обозначает в математике число, равное отношениюдлины окружности к длине ее диаметра; ? - трансцендентное число; оновыражается бесконечной непериодической десятичной дробью:?? = 3,141 592653 589 793 238 462 643...
Значение слова Пи по словарю Ушакова:
ПИ
нескл., ср. (мат.). Отношение длины окружности к диаметру. Число пи иррационально и равно приблизительно 3, 14. (По названию греч. буквы p.)
Значение слова Пи по словарю Брокгауза и Ефрона:
Пи (Pie; по англ. выговору "пай") — монета, см. Индия. Pie (от дат. Pes — фут) — прежний испанский фут = 0, 2786 м, в Парагвае = 0, 2795 м.
Определение слова «Пи» по БСЭ:
Пи - π, буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения определённого иррационального числа, именно - отношения длины окружности к диаметру.
Это обозначение (вероятно, от греч.
περιφερεια
окружность, периферия) стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706).
Как и всякое иррациональное число, π представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:
π = 3,141592653589793238462643...
Нужды практических расчётов, относящихся к окружности и круглым телам, заставили уже в глубокой древности искать для π приближений с помощью рациональных чисел. Древнеегипетские вычисления (2-е тысячелетие до нашей эры) площади круга соответствуют приближённому значению
π ≈ 3 или, более точному, π ≈ (16/9)І = 3,16049... Архимед (3 в. до н. э.), сравнивая окружность с правильными вписанными и описанными многоугольниками, нашёл, что π заключается между
310⁄71 = 3,14084...
и 31⁄7 = 3,14285
(последним из этих приближений до сих пор пользуются при расчётах, не требующих большой точности). Китайский математик Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 в.) получил для π приближение 3,1415927, вновь найденное в Европе значительно позднее (16 в.); это приближение даёт ошибку лишь в 7-м десятичном знаке.
Поиски более точного приближения
π продолжались и в дальнейшем, например аль-Каши (1-я половина 15 в.) вычислил 17 десятичных знаков π, голландский математик Лудольф ван Цейлен (начало 17 в.) - 32 десятичных знака. Для практических надобностей, однако, достаточно знать несколько десятичных знаков числа
π и простейших выражений, содержащих π; в справочниках обычно даются приближённые значения для π, 1/π и πІ, lgπ с 4-7 десятичными знаками.
Число π появляется не только при решении геометрических задач. Со времени Ф. Виета (16 в.) разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводило к этому же числу π. Примером может служить ряд Лейбница (1673-74):
π
4
| = 1 −
| 1
3
| +
| 1
5
| −
| 1
7
| +
| 1
9
| − ...
|
Этот ряд сходится
очень медленно. Существуют значительно быстрее сходящиеся ряды,
пригодные для вычисления π. Так, например, формула
π = 24 arc tg
| 1
8
| + 8 arc tg
| 1
57
| + 4 arc tg
| 1
239
| ,
|
где значения арктангенсов вычисляются с помощью ряда
arc tg x = x −
| x3
3
| +
| x5
5
| −
| x7
7
| + ... ,
|
была использована (1962) для вычисления с помощью ЭВМ ста тысяч десятичных знаков числа π.
Такого рода вычисления приобретают
интерес в
связи с понятием случайных и псевдослучайных чисел. Статистическая
обработка указанной
совокупности знаков π показывает, что она обладает многими чертами
случайной последовательности.
Возможность
чисто аналитического
определения числа π имеет
принципиальное значение и для геометрии. Так, в неевклидовой геометрии π
также участвует в некоторых формулах, но уже не как отношение длины окружности к
диаметру (это отношение в неевклидовой геометрии
вовсе не является постоянным). Средствами анализа,
среди которых решающую роль сыграла замечательная формула Эйлера e
2 πi= 1 (e -
основание натуральных логарифмов, см. Неперово число; i = √
Ї−1),
была окончательно выяснена и арифметическая
природа числа π.
В
конце 18 в. И.
Ламберт и А.
Лежандр установили, что π - число иррациональное, а в 1882 немецкий математик Ф.
Линдеман доказал, что оно
трансцендентно, т. е. не может
удовлетворять никакому алгебраическому
уравнению с целыми коэффициентами.
Теорема Линдемана окончательно установила
невозможность решения задачи о
квадратуре круга с помощью циркуля и линейки.
Лит.: О квадратуре круга (Архимед,
Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса..., пер. с нем., 3 изд., М.- Л., 1936; Shanks D., Wrench J. W., Calculation of π to 100 000 decimals, «Mathematics of Computation»,
1962, v. 16, № 77.
Пёстрый
Пи
Пи-Би-Эс (Pbs)