Средние

Средние в Энциклопедическом словаре:
Средние - см. Арифметическое среднее, Гармоническое среднее,Геометрическое среднее, Квадратичное среднее.

Определение слова «Средние» по БСЭ:
Средние - средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.
1) Средним для данной группы чисел x1, x2,..... xn называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: арифметическое среднее

a =x1+x2+...+xn

n
 ,

геометрическое среднее

g =n
 

x1·x2· ... ·xn
 ,

гармоническое среднее

h =
n

,

1

x1
+1

x2
+...+1

xn

квадратичное среднее


q =x1І+x2І+...+xnІ

n
 .

Если все числа xi (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого α ≠ 0 определить степенное С.

sα =(x1α+x2α+ ... +xnα

n
)1

α
 
 ,

частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: sα равняется a, h и q соответственно при α = 1, −1 и 2.
При α → 0 степенное С, sα стремится к геометрическому С., так что можно считать s0 = g. Важную роль играет неравенство sα ≤ sβ, если α ≤ β, в частности
h ≤ g ≤ a ≤ q.
Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы

 s = ƒ−1[1

n
n

k=1
ƒ(xk) 
] ,

где ƒ−1(η) - функция, обратная к ƒ(ξ) (см. Обратная функция), при соответствующем подборе функции ƒ(ξ). Так, арифметическое С. получается, если ƒ(ξ) = ξ, геометрическое С. - если ƒ(ξ) = log ξ, гармоническое С. - если ƒ(ξ) = 1/ξ, квадратичное С. - если ƒ(ξ) = ξІ.
Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С.

sα =(p1x1α+p2x2α+ ... +pnxnα

p1+p2+ ...+pn
)1

α
 
 ,

в частности при α = 1,

A  = p1x1+p2x2+ ... +pnxn

p1+p2+ ...+pn
 ,

которые переходят в обыкновенные степенные С. при р1 = р2 =... = pn. Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).
2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел a и b составляются арифметическое С. a1 и геометрическое С. g1. Затем для пары a1, g1 снова находятся арифметическое С. a2 и геометрическое С. g2 и т.д. Общий предел последовательностей an и gb, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим С. чисел a и b; он важен в теории эллиптических функций.
3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если ƒ(x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка c, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что ƒ(b) − ƒ(a) = (b−a) ƒ’(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если ƒ(x) непрерывна на отрезке [а, b], а φ(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка c из интервала (а, b) такая, что

b

a
ƒ(x)φ(x)dx = ƒ(c)
b

a
φ(x)dx
 .

В частности, если φ(x) = 1, то

b

a
ƒ(x)φ(x)dx = ƒ(c)
(b−a)
 .

Вследствие этого под средним значением функции ƒ(x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину

ƒ̅ =1

b−a
b

a
ƒ(x)dx.

Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.


Среднеязычный   
Средние   
Средние Века