Средние
Средние в Энциклопедическом словаре:
Средние - см. Арифметическое среднее, Гармоническое среднее,Геометрическое среднее, Квадратичное среднее.
Определение слова «Средние» по БСЭ:
Средние - средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.
1) Средним для данной группы чисел x1, x2,..... xn называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: арифметическое среднее
геометрическое среднее
гармоническое среднее
квадратичное среднее
Если все
числа x
i (i = l,2,..., n) положительны, то
можно для любого α ≠ 0
определить степенное С.
sα = | ( | x1α+x2α+ ... +xnα
n
| ) | 1
α | ,
|
частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s
α равняется a, h и q
соответственно при α = 1, −1 и 2.
При α → 0 степенное С, s
α стремится к геометрическому С., так что можно
считать s
0 = g. Важную роль играет
неравенство s
α ≤ s
β, если α ≤ β, в частности
h ≤ g ≤ a ≤ q.
Арифметическое и квадратичное С. находят
многочисленные применения в теории вероятностей, математической
статистике, при
вычислении по методу наименьших квадратов и др.
Указанные выше С. могут быть получены из формулы
где ƒ
−1(η) -
функция, обратная к ƒ(ξ) (см.
Обратная функция), при соответствующем подборе
функции ƒ(ξ). Так, арифметическое С. получается, если ƒ(ξ) = ξ, геометрическое С. - если ƒ(ξ) = log ξ, гармоническое С. - если ƒ(ξ) = 1/ξ, квадратичное С. - если ƒ(ξ) = ξІ.
Наряду со степенными С. рассматривают
взвешенные степенные С.
sα = | ( | p1x1α+p2x2α+ ... +pnxnα
p1+p2+ ...+pn
| ) | 1
α | ,
|
в
частности при α = 1,
A = | p1x1+p2x2+ ... +pnxn
p1+p2+ ...+pn
| ,
|
которые переходят в обыкновенные степенные С. при р
1 = р
2 =... = p
n.
Взвешенные С.
особенно важны при математической
обработке результатов
наблюдений (см.
Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной
точностью (с разным весом).
2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел a и b составляются арифметическое С. a
1 и геометрическое С. g
1.
Затем для пары a
1, g
1 снова находятся арифметическое С. a
2 и геометрическое С. g
2 и т.д.
Общий предел последовательностей a
n и g
b,
существование которого было
доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим С. чисел a и b; он важен в теории эллиптических функций.
3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном
исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких
точек, в которых функция или её
производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является
теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если ƒ(x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в
интервале (а, b), то существует
точка c, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что ƒ(b) − ƒ(a) = (b−a) ƒ’(c). В интегральном исчислении
наиболее важной теоремой о С. является следующая: если ƒ(x) непрерывна на отрезке [а, b], а φ(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка c из интервала (а, b) такая, что
b ∫ a | ƒ(x)φ(x)dx = ƒ(c)
| b ∫ a | φ(x)dx
| .
|
В частности, если φ(x) = 1, то
b ∫ a | ƒ(x)φ(x)dx = ƒ(c) (b−a) | .
|
Вследствие этого под средним значением функции ƒ(x) на отрезке [а, b]
обычно понимают величину
Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.
Среднеязычный
Средние
Средние Века